线性代数课件-------4-1-4-2.ppt

§4.1 向量组及其线性组合 一、向量的定义 二、向量、向量组与矩阵 三、线性组合，线性表示 四、等价向量组 五、向量组的秩与矩阵的秩 六、总结 一、向量的定义1、 维向量的概念 2、 维向量的表示方法 二、向量、向量组与矩阵 五、向量组的秩与矩阵的秩 §4.2向量组的线性相关性 一、线性相关的概念 二、线性相关的判定 三、小结 一、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结 * * 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定义１ 线性组合 三、线性组合，线性表示 定理1 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 四、等价向量组 从而 注意 定义３ 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用.