二重积分的计算-经典.ppt

例3. 计算 例4. 计算 例5. 交换下列积分顺序 例6. 计算 例9. 计算 例10. 求球体 例1. 计算 一、高斯 ( Gauss ) 公式 例1. 用Gauss 公式计算 例3. 2、利用柱面坐标计算三重积分 (0≤ +?, 0≤?≤2?, ??z+?) r ? z M ? 0 x z y y x M ? ( , ?, z) x= r cos? y= sin? z=z 其中?为由 例8. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 例9. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 例. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性,考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 计算也可用极坐标！ y z x o a a a 例2：求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱面 x 2 + y 2 = a x ( a 0 )内部的那部分面积. 解：由对称性 A = 4 A1 (A1第一卦限部分） 曲面方程 ? : Dxy : x 2 + y 2 ≤ a x, y ≥ 0. z y x Dxy ? z y x Dxy ? 面积 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧. (P189例1) 解: 上点 O (0,0) 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 （P197例2） 路径不同，积分不同！ 例4. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解:为了使用格林公式,添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D,则 例5. 验证 是某个函数的全微分,并求 出这个函数. 证:设 则 由定理2 可知,存在函数 u(x, y) 使 。 。 例1. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 解: Dxy ? h ? (P217例1) 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. (P218例2) 解:设 上的部分,则 与 原式 = 分别表示? 在平面 解 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 例2.计算 球面 外侧在 的部分. (P226例2) 其中Σ是 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数, 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成,? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 高等数学 11 - 2 1. 利用直角坐标计算二重积分 2. 利用极坐标计算二重积分 3.＊二重积分的变量变换 ⑤ 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意:① 为方便，上式也常记为： ③ 积分次序: X -型域 先 y 后 x ; ④ 积分限确定法: “域中一线插”,须用平行 于 y 轴的射线穿插区域 。 ② 说明: 二重积分可化为二次定积分计算; c ? y ? d D： ? 1 (x) ? x ? ? 2 (x) (2) Y－型区域 x o y c d D x=? 2(y) x =? 1(y) y Y型区域的特点：平行于 x 轴且穿过区域 内部的直线与区域边界的交点不多于两个。 积分限确定法： 注意: ① 积分次序: Y -型域 ,先 x 后 y ; ② 积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于 x 轴的射线穿插区域。 注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确 确定积分限，一定要做到熟练、准确。 (5) 利用直角系计算二重积分的步骤 ① 画出积分区域的图形, 求出边界曲线交点坐标； ③ 确定积分限，化为二次定积分； ② 根据积分区域类型, 确定积分次序； ④ 计算二次积分，即可得出结果. 解： ［X－型］ o x ［Y－型］ o y 例2. 解： X-型 o x 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 注：若将D视为 x - 型，则需对D分割如下图。 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解:由被积函数可知, 因此取D 为 X – 型域: 先对 x 积分不行, 说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序. 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域,则 画出积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 练习：改