误差理论与数据处理课件06.ppt

误差理论与数据处理 第六章 回 归 分 析 费业泰 编著 机械工业出版社 讲授：何庆中 机 电 工 程 系 第六章 回 归 分 析 在科学实验中，除了前面各章讨论关于寻求被测量值的最佳估计值及其精度问题外，还涉及到寻求两个变量或多个变量之间的内在关系（联系）问题，这类问题的解决通常采用回归分析方法来完成。 6.1 回归分析的基本概念 6.1.1 函数关系与相关关系 （1）函数关系：能用数学表达式明确变量之间的内在联系和规律的相互关系，即函数关系。 （2）相关关系：在实际问题中，影响变量之间的因素实际上是千差万别的，不能简单地决定只由一个或几个影响因数所产生，只能预测估计变量之间的关系，并存在于某一范围之内，这样的变量关系称为相关关系，有时称为“黑箱问题”。如：测量结果的估计值与误差。 应该指出，变量之间的函数关系和相关关系并没有严格的界限。实际上由于误差的存在，确定性的关系往往通过相关关系表现出来，并存在一定的不确定变量因素（如：误差），它通常要用实验方法才能确定。 当对事物内部变量之间的规律性有了更深刻的了解和认识，并通过对大量实验数据的分析和处理、总结和提高，相关关系（不确定）又可转换成确定性的函数关系。 6.1.2 回归分析的主要内容 回归分析：是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法，是将相关变量之间由生产实践和科学实验得到的变量数据，应用数学方法对大量的实验和观察数据进行处理，从而得到比较符合事物内部变量之间的内部规律的数学表达式的方法。 它所涉及到的主要内容如下： （1）从一组数据出发，确定变量之间的数学表达式——回归方程或经验公式。 （2）对回归方程的可信度进行统计检验。 （3）进行因素分析，找出变量之间相互联系或关联的重要因素和次要因素。 总之，尽管回归分析方法是数理统计的一个重要分支，但它在实验数据处理、经验公式的获得、因素与仪器设备的精度分析、产品质量的控制、标准的制定、自动控制中数学模型的建立等数据和问题的处理中，已得到广泛的应用。 6.2 一元 线 性 回 归 一元回归方法：是通过实验，分析所得到的实验数据，找出两个变量之间的内在相关关系——经验公式。一元线性回归方法：是找到两个变量之间满足线性规律的一元回归方法。 6.2.1 一元线性回归方程 （1）回归方程的求法（假设x无测量误差，误差全在y方向存在） 假设两变量之间一组测量数据 y、x 满足如下线性形式或线性数学模型： yt=β0 +βxt +εt (t=1, 2, … , N) 式中： β0，β —— 为常数或线性系数。 εt —— 分别表示其他随机因素影响 的总和，是一组相互独立，并满足 正态分布N（0, σ）的随机变量。 xt —— 是一组可以精确测量或严格 控制的变量。可是随机变量，也可 是一般变量。 若用最小二乘法来估计线性数学模型中的系数参量β0，β ，便得到一元线性回归方程： b0、b —— 回归系数。 因此，输入参数 xt 与回归值 ? 之间具有一一对应关系，但存在残余误差vt： vt = yt – ?t = yt – ( b0 + bxt ) 因而，一组 yt、xt（t =1，2，3，…，N）对应一组残余误差方程: 或 令： V = ； Y = ； X = ； b = ; 有： V = Y－X b 应用最小二乘法求解回归方程中系数b0、b的条件是残余误差平方和最小，对上式求导并且二次导数大于0存在，则有回归系数的矩阵解： b = (XTX) -1XTY = CB 式中： A = XTX = ； C = A-1 = ； B = XTY = 带入上式解得回归方程中的系数b0、b： 式中： ； ； 得到回归方程系数b0、