误差理论与数据处理课件05.ppt

误差理论与数据处理 第五章 线性参数的最小二乘法处理 费业泰 编著 机械工业出版社 讲授：何庆中 机 电 工 程 系 第五章 线性参数的最小二乘法处理 最小二乘法原理是一种多学科领域广泛应用的数据处理方法。在误差理论与数据处理方面，人们主要用于解决测量参数的最可信赖值估计、组合测量中的数据处理、采用试验方法拟定经验公式以及回归分析等数据处理问题。 最小二乘法按处理数据的方法主要分为经典最小二乘法（代数法）和矩阵最小二乘法。 5.1 最小二乘法原理 为了确定 t 个不可直接测量的未知量 X1, X2, … , Xt 的估计值 x1, x2, … , xt （算术平均值），可对与该 t 个不可直接测量的未知量 X1, X2, … , Xt 具有函数关系的直接测量值 Y 进行 n 次测量，测量结果数据为 l1, l2, … , lt 。 函数关系设为： 5.1.1 残余误差的确定 最小二乘法原理指出，在自变量X1, X2, … , Xt的检测结果中不存在测量误差，计算出获得未知参量 x1, x2, … , xt的最可信赖的计算结果应在残余误差的平方和最小的条件下得到。 设直接测量结果Y1, Y2, … , Yn 的估计值为 y1, y2, … , yn ，则有： 与测量结果值 l1, l2, … , ln 的残余误差为： 称为误差方程或残余误差方程。 5.1.2 残余误差平方和最小的推导 假设测量结果值l1, l2, … , ln无测量系统误差存在，且相互独立，并服从正态分布规律，其标准差分别为 σ1, σ2, … , σn ，各测量结果l1, l2, … , ln出现于相应真dδ1, dδ2, … , dδn值附近的概率为： 由概率乘法定理有各测量数据同时出现在响应区域dδ1, dδ2, … , dδn的概率为： 由上式可得出，要使出现的概率最大，则应满足条件： 或 引如权值概念 ，可得： 5.1.3 最小二乘法用于线性参数的处理 对于等精度测量，有σ1=σ2= … =σn和P1=P2=…=Pn，则可简化为测量结果的残余误差和最小: 这就是最小二乘法原理。 必须指出，上述最小二乘法原理是在测量结果内无系统误差存在、服从正态分布、相互独立的条件下推导出的。但在实际应用中，即使测量结果不严格服从正态分布，也常常被应用。 由于在测量的实际问题中，大量属于线性问题，而非线性问题借助于级数展开（如：泰勒级数）的方法，可以在某一测量精度范围内近似地转化为线性问题处理。因此，线性参数最小二乘法是最小二乘法研究的基础。 线性参数测量值的测量方程和估计方程： 线性参数残余误差的测量方程： 借助于矩阵（利于应用矩阵求解），可给出矩阵形式的最小二乘法计算的线性参数残余误差估计值的测量方程： 设向量： ； ； ；和 则有线性参数残余误差测量的矩阵方程： 即： 对于等精度测量，使残余误差最小的矩阵条件： 对于不等精度测量，使残余误差最小的矩阵条件： 式中：P为n×n阶测量数据的权值矩阵。 5.1.4 最小二乘法用于非线性参数的处理 对于非线性参数的处理，借助于级数展开（如：泰勒级数）的方法，绝大多数非线性误差问题的参数处理，通过对误差方程中的不等权转化为等权形式，完全可按线性误差问题的参数处理方法进行处理（应在某一测量精度范围内进行）加以解决。在此不做详细的讲解，请同学们自学。 5.2 正 规 方 程 前面已提到，在实际测量误差分析中，为了提高测量结果的计算精度，利用随机误差随着测量次数n的增加，误差具有抵偿性的特点，测量次数总是 nt 或 nt ，因此成了求解超静定方程组，无法计算出未知参量的结果x1, x2, … , xt 。 利用最小二乘法原理可将误差方程转化为具有确定解的代数方程（正规方程）从而解出未知参量。 下面重点学习线性误差问题中的参数处理方法——最小二乘法估计法的正规方程。 最小二乘法估计法的正规方程计算方法可归纳为如下几步：。 （1）依据具体研究的实际问题，列出测量系统的误差方程。 （2）利用最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程。 （3）求解正规方程，得到待求的估计值。 （4）最后给出精度估计。 注意：对于非线性误差问题中的参数处理方法，可先将非线性问题转化为线性问题，再按上述方法进