小学奥数-几何五大模型(相似模型)概要.doc

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不只要其形状，不论大小怎样改变们都相似，相似三角形的一切对应线段它们的相似比相似三角形的面积比等于它们相似比的平方中，，，，那么的长度是多少？ 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以． 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份。如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 有一个金字塔模型，所以，，所以厘米。 如图平行，若，那么________。 根据金字塔模型，， 设份，则份，份，所以。 如图， 中，，，互相平行，， 则 。 设份，根据面积比等于相似比的平方， 所以，，因此份，份， 进而有份，份，所以 【巩固】如图，平行，且，，，求的长。 由金字塔模型得，所以 【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，， 则 。 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份． 所以有 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。 已知中，平行，若，且比大，求。 根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以 如图：平行， ，，求的长度 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有： ，因为，，所以 【巩固】如图，已知平行，，那么________。 由沙漏模型得，再由金字塔模型得． 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米。那么的面积是 平方厘米。 因为，，与平行， 根据相似模型可知，，平方厘米， 则平方厘米， 又因为，所以(平方厘米)． 在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？ 连接∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍。 如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？ 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线，则图形关于对称，有，，且． 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份． 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为． 解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知， 根据梯形蝴蝶定理，， 所以，即； 又，所以． (年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________． 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形． ，那么，所以． 又，所以，根据沙漏模型， ，所以． 已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积． 已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且． 又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么． 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长． 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为． 方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米． 【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽． 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米． 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做垂直于，交于． 因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为， 所以，又因为，所以， 所以三角形的面积为． 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ 根据相似三角形的对应边成比例有：；， 则，， (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它面52平方厘米，则阴影部分的面积 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边