幻方与数阵概要.ppt

幻方与数阵 主要内容: 1、幻方定义 2、三阶幻方、四阶幻方构作方法 3、数阵 运算及思考方法的美 例1、填空运算 将5，6，7，8，9五个数填在下图方格里，使横竖三个数的和都是20 我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 一、幻方定义 幻方是满足一定条件的一种表格，表的形状 为由若干个方格所组成的正方形，数填在方格中 1、三阶幻方的定义：在3×3的方格里既不重复 又不遗漏地填上九个给定的自然数，每个数占一 格，使得每行每列及对角线上自然数的和都相 等，这样排成的数表叫做三阶幻方。 注意：①强调：阶、和都相等 ②何为幻方 2、n阶幻方的定义： 二、 三阶幻方构作 方法1： 步骤为：（1）求幻和：九个数之和除以3 所得商即为幻和 （2）求中间数，3×中间数=幻和， 即 3×b2=幻和， （3）求四角数：九个数为连续自然数时，四角数与中间数的奇偶性相异 例1、把1～9这九个数填入3×3的方格里，制成三阶幻方， 方法二：杨辉法——九子排列，上下 对易,左右相更，四维挺出 1 9 9 4 9 2 4 2 4 2 4 2 3 5 7 7 5 3 7 5 3 3 5 7 8 1 6 8 6 8 6 8 6 9 1 1 方法三：十字斜填法 例2、把4至12填在格子里，制成三阶幻方。 （1）求幻和（4+5+…+12）÷3=24 （2）求中心数3b=24，b=8 （3）定四角数 （4）定其它数 三阶幻方的性质：对称性、轮换性 例3、用3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数制成三阶幻方 分析：（1）若用方法1，则困难之处在于确定四角数，要在确定中心数后对四角数的六种可能情况进行讨论，较麻烦 （2）若用方法2，则本题很容易解决 说明：并不是任意九个自然数都可以制成三阶幻方 方法四：斜右上方法 奇数阶幻方的制作(罗伯法) 五阶:“1居上行正中央,依序斜填切莫忘” —往右上方填 “上出框时往下写”，排重便往下格填；右上排重一个样。 三、四阶幻方的构作——对称交易法 构作步骤： （1）将16个自然数依次填入方格中，（按行填，否则下面步骤有变动） （2）主对角线不动，一、四两列，二、三两列其它各数交换 （3）主对角线不动，一、四两行，二、三两行其它各数交换 例5、把1～16这16个数填入4×4的方格里，制成四阶幻方 四阶幻方 奇妙的幻方 数阵 一、与幻方类似的另一种图就是数阵 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数 阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特 定关系线（或关系区域）上的数的和相等。 二、数阵的类型：辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵 三、数阵的构作 1、辐射型数阵 例1、将1-7分别填入下图圆圈内，使每条线段上的三个数的和相等。 思考题：将1～9填入右图的○内，使得每条边上三个○内的数之和相等。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2、封闭型数阵 例2、将1-6分别填入图中圈内，使每条边上的三个数的和相等 设三个顶点○内所填的数为a,b,c, 每条边上数之和为k， 则有：1+2+……+6+a+b+c=3k， a+b+c=3（k-7） 而a+b+c最小为6，最大为15， 故k只能取9，10，11，12 课上只讨论k=9，a+b+c=6 3、复合型数阵 例3、下图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上． (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (1