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* * 1.5.3 定积分的概念（一） 前面我们一起解决了两个问题： 1,求曲边梯形的面积 2,求物体做变速运动的位移 a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 如图 一、问题再现 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似, 求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： xi y=f(x) x y O b a xi+1 xi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度⊿x V 虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。 V(T) A B 设物体作直线运动, 且 计算在这段时间内物体所经过的路程。 连续函数, 是时间间隔 已知速度 上 的 （求变速直线运动的路程） 实例2 路程=速度×时间. 匀速直线运动： (1) 分割 (2) 近似代替 (3) 求和 (4) 取极限 （求变速直线运动的路程） 实例2 求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程的共同特征： 归纳提炼 1.都通过“四部曲”——分割、近似代替、求和、取极限 来解决问题. 2.都归结为求同一种类型的和式 的极限问题. 3.解决问题的思想方法相同——在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以给定积分的定义. 二、定积分的定义 定义 如果函数 在 上连续，用分点x1,x2,x3....xn即 将区间 等分成n个小区间， 在每个小区间 上任取一点 作和式 当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）叫做函数 在 的定积分， 记作： 即 定积分的定义： 定积分的相关名称： ? ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 定积分的定义： x y O f(x)=x2 O v t 1 2 1 S=5/3 是一个和式的极限，是一个确定的常数 2.当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 的分法及 点的取法无关。 f(x) [a,b] 注意 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数无关 在 上连续，则定积分 的值 4. 及x轴所围成 的曲边梯形的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线 2 -2 [-2,2] 0 A 3.定积分 练习 中，积分上限是 积分下限是________ 2. 积分区间是 O x y a b y?f (x) x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 三、定积分的几何意义 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x