二维线性系统分析 课程中心.doc

第2章 标量衍射的角谱理论 光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足： 衍射孔径比波长大很多， 观察点离衍射孔不太靠近； 不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。 2.1 光波的数学描述 作为电磁场的基本理论，麦克斯韦方程组描述了电场和磁场在各向同性介质中的传播特性。同时作为空间和时间函数的电场或磁场分量，在任一空间无源点上满足标量波动方程 （2.1） 式中 是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度,而、为介质的介电系数和磁导率。如在真空中的传播，则速度为真空光速，式中、为真空中的介电系数和磁导率。 式（2.1）是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。可以证明球面波和平面波都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。 2.1.1 光振动的复振幅和亥姆霍兹方程 取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，单色光场中某点在时刻的光振动可表示成 （2.2） 式中是光波的时间频率，和分别是点光振动的振幅和初位相。为将相位中由空间位置确定的部分和由时间变量决定的部分分开，用复指数函数表示光振动是方便的。这样一来，（2.2）式变成 （2.3） 式中，符号表示对括号内的复函数取实部。将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量 （2.4） 称为单色光场中点的复振幅。它包含了点光振动的振幅和初位相，仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关。利用复振幅，光振动可改写为 （2.5） 光振动的强度是其振幅的平方，因而光强可用复振幅表示成 （2.6） 在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时，可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一个阶段对复指数函数取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个阶段得到的结果是相同的。故可将式(2.5)左边花括号中的部分代入式(2.1)，波动方程化简为 （2.7） 其中称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为 （2.8） 式(2.7)称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。在自由空间传播的任