从两个错误解答谈分类讨论思想的教学27413KB.doc

从两个错误解答谈分类讨论思想的教学 章祥俊 （江苏省苏州实验中学 215011） 本刊2015年第5期61~65页刊登的“2015届高考数学模拟试卷、答案”中的第12、19两题的答案笔者以为有待商榷. 第12题为：设点，圆，是圆的直径，从左到右，依次是的四等分点，（异于）是圆上的动点，于点，，直线与交于点，若是定值（与点的位置无关），则的值为________. 文中所给答案：. 笔者所给解答：设，则.当时，因为三点共线，所以；因为三点共线，所以.上述两式相乘得：，又因为，所以有，整理得，又因为是定值，所以，解得.当时，直线与的交点与重合，满足题意.综上，的值为. 第19题为：已知数列满足.（1）若为不随变化的常数，是否存在常数，使得为等比数列？（2）略. 文中所给答案：（1）其中的“当或时，不存在常数，使得为等比数列.”. 笔者所给解答：若且，有，此时对于任意的非零常数，都有为等比数列；若而，有，，此时不存在常数，使得为等比数列；若而，有，此时对于任意的常数，都有为等比数列. 笔者认为，上面两题答案的错误都是因为“分类讨论”的缺失或模糊所引起的.第12题中，当时，方程才有意义，因此需要对是否等于进行分类讨论；第19题中，“且”的反面是“或”，它包含三种情形：且、而、而，而这三种情形得到的结论是不一样的，因此不能直接表达为“当或时，不存在常数，使得为等比数列.”基于此，笔者给出了上述解答. 分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略；分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于培养学生思维的条理性，缜密性，科学性；分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中，是高考的重点考查数学思想之一.在高三的数学复习课堂上，几乎每一课都能出现它的“身影”，因此对于分类讨论思想的教学必然引来教师和学生的高度重视. 下面谈相关的两个话题： 一、什么情况下需要分类讨论 分类讨论思想应用的难点之一就是何时需要分类讨论：在我们研究问题过程中出现了不同情况，出现了“岔路口”，就需要对不同情况进行分类研究，其实质是一种逻辑划分，是一种“化整为零、各个击破”的数学思想.有些题目的解决一开始就需要分类，有的是在解题的中途出现分类讨论，还有的则是在题目最后下结论时出现分类现象；有的分类讨论是“显而易见的”，而有些分类讨论则“隐藏得比较深”；有的分类讨论是“一次”的，而有些分类讨论则是“多次”的.如上述第12题，在解题中途出现方程，为使表达式变形等价，需要对是否等于进行分类讨论，这个分类就隐藏得比较深；上述第19题，先对是否等于进行“一次”分类，再在的情况下对是否等于进行“二次”分类，再然后对是否等于进行“三次”分类，这样层层推进，对每一个“岔路口”各个击破，从而达到完整有序解决问题. 教师在课堂教学中遇到这类问题时，不能匆匆忙忙中就去揭开分类讨论的“神秘面纱”，而应给予学生充分的时间，让他们跌倒，让他们自己在处理问题的过程中去发现那些不同情况，发现那些“岔路口”，提升运用分类讨论思想解决问题的意识和能力. 依据什么原则进行分类讨论 一般来说，分类讨论必须遵循以下四大原则：（1）同一性原则.分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类标准，每一次分类的每一类之间应该是“平行”的关系.（2）互斥性原则.分类后的每一个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，也就是所有子集两两之间的交集是“空集”.（3）相称性原则.分类应当相称，即划分后子项外延的总和，也就是“并集”，应当与母项的外延相等.（4）层次性原则.分类讨论有一次分类和多次分类之分，其中的多次分类就是把前一次分类后的所有子项作为下一次分类的母项再次进行分类，直到满足需要为止.总体来说，分类讨论应该遵循“不重复、不遗漏”的原则进行. 上述第12、19题就是遵循这些原则进行分类讨论的.又如这份模拟试卷中的第14题：过点可以作曲线的两条切线，求的值.教师在和学生一起探讨这道题目时，抓住关键词“过点”，根据互斥性原则分两类：点就是切点与点不是切点进行研究.当点不是切点时，设切点为，写出切线方程，并将点代入化简得，观察该方程从而“二次”分类：与.当时，方程根的情况将进行“三次”分类：两相等非零实根以及一根为零另一根为非零实数这两种情况，从而得到的值为.教师在教学过程要善于观察学生的思维走向，如若学生经过“岔路口”却发现不了时，教师可适当抛出一些问题引导学生分析并解决问题；如若学生发现了“岔路口”却不知如何解决问题，教师亦可适当引导或者让学生之间相互交流找到解决问题的思路和方法.这样层层推进，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰、完整、严谨的解答. 笔者深