代数学发展与课程设置.ppt

代数学发展与课程设置 1、代数学的发展 2、代数学的课程设置 3、代数学的学习 1、算术 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855） 数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦克斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879) 2、初等代数 作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。 3、高等代数 在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。 4、数论 以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点，来研究数。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。 5、抽象代数 抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（modern algebra），它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换（transformation）等，这些物集分别依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。 伽罗瓦与群论 (1611-1832) 一、伽罗瓦的生平 1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。 伽罗瓦理论 伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论． 伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论． 群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构． 2、代数学的课程设置 高等代数（基础课） 二、三学期开设，学分4+5.5，学时72+104 近世代数（骨干课） 四学期开设，学分4，学时64 初等数论（选修课） 3、代数学的学习 补充复数域知识，补充复数域、复数的三角表示、反三角函数、复合函数、复杂的数列计算和数学归纳问题、整数环的整除理论等方面的知识。 理论指导下计算一般题目，又用经典的题目反过来加深对理论的理解。 从力所能及的题目开始加强训练，注意知识点与难度的适当搭配 ，从基础开始抓能力培养。 进行学习“迁移” ，独立完成作业。 注意改善师生关系、同学关系，多交流，多参与答疑质疑活动。 多登陆课程中心网站，学习代数相关知识，多思考代数问题的由来与发展。 伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论． D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．” 伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果． 在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神． 一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构． 伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关