六,9-3可积条件.ppt

* * * * * * * * * * * * * 返回 后页 前页 　判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §9-3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 极限　　　　　　　 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 在 上可积，则 在 上必有界. 证 设 由定义, 对 于是 于是 矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件. 证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 于是 而这与 相矛盾, 所以 称　　　　　　　　为 f 关于分割 T 的上和,其中 称　　　　　　　为 f 关于分割 T 的下和,其中 对任意分割 定义2 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连 续性相关联的概念. 证明可积性问题时,有多种方法可使 常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 每个 ，从而 第一种方法: 定理9.4（连续必可积） 连续，则　　　　　　可积. 若 连续,从而 一致连续.于 证 从而 因此当 第二种方法: 定理9.5（单调必可积） 证 不妨设 是非常值的增函数，则对任意分割 于是 因此,若 第三种方法: 于是 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） 若 有界,且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明 f 可积. f 在 [a, b] 上可积. 只有一个间断点,且为 b. 证 不妨设 使 则存在分割 令 则 例2 证明黎曼函数 上可积,且 证 的有理数 只有有限多个,设它们为 分割 使 的小区间至多有 2k 个,记为 因此这些小区间长度之和为 从而 作业题 P212 1,３,４ 复习思考题 1. f (x) 为 [a, b] 上的有界函数, 其不连续点的集合 求证 f 在[a, b]上可积. 2. f (x) 在 [a, b] 上不连续点的集合为 , 它们在 试问 f 在 [a, b] 上是否一定不可积？ [ a, b ] 中稠密,即 为 E0 . 若 * * * * * * * * * 返回 后页 前页 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *