单元刚度矩阵为.ppt

应变的矩阵： 应变矩阵的分块矩阵： 由于等参单元的形函数式局部坐标（ξ，η）的函数，因此应变距阵[B]也是局部坐标（ξ，η）的函数，形成邓粲单元的刚度矩阵需要在整体坐标系中对局部坐标的函数进行积分，包括以下步骤 ： 由于局部坐标与整体坐标之间存在坐标转换关系，因此形函数Ni 是局部坐标的函数，同时也可以看作是整体坐标的函数。由复合函数求导法则可得： 令： （1）计算形函数对整体坐标x，y的偏导数 矩阵[J]称为雅可比矩阵（Jacobian Matrix），单元的整体坐标可以形函数来表示，因此用坐标变换公式可以计算雅可比矩阵。 ， （2）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分 在整体坐标系中，面积微元为x方向和y方向微矢量的叉乘的模量， 单元刚度矩阵在局部坐标系中的积分公式为： 单元刚度矩阵中的任意一个分块矩阵的积分公式为， （3）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素 等参单元刚度矩阵的每个元素都是局部坐标的函数，在有限元程序中不用解析的办法来计算局部坐标系中的积分，而采用数值积分方法。通常采用高斯积分方法计算单元刚度矩阵中的元素。 高斯积分 高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。这种方法具有比较高的计算精度。已经证明，采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用高斯积分可以得到精确的积分结果。 将作用在单元上的外载荷同样表示为局部坐标的函数，就可以在局部坐标下完成单元的载荷移置。体力移置的公式为， 面力移置的公式也类似，例如在 的边上受到面力作用， 在点 集中力移置的公式为： 三维弹性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。 5.4 六面体等参单元 1）单元划分比较复杂 六面体单元的计算精度比较高，但是对于复杂三维实体无法实现六面体单元的自动划分。采用四面体单元能够实现单元自动划分，但是四面体单元的计算精度比较低。 2）计算规模大 三维问题的单元数目大，节点自由度多，导致计算规模大，对计算机硬件的要求很高。为缩短计算时间，有许多问题需要采用巨型计算机，如CRAY，或并行计算机。 常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元和六面体二十结点等参单元。等参单元的位移模式和坐标变化式采用相同的形函数。 三维问题有限元法有以下两个主要难点： 由应力矩阵可知，除剪应力 为常量，其它三个正应力分量都是r、z的函数。 单元刚度矩阵为: 单元刚度矩阵的分块矩阵为: (1)单元刚度矩阵的定义 4.6 单元刚度矩阵 *** 由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标 代替[B]矩阵中的变量r、z。 应变矩阵变成: 单元刚度矩阵的近似表达式为： 单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为: 4.7 载荷移置 由虚功方程得: 由虚功方程得，单元上的面力的载荷移植公式为： 轴对称问题分析中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹性体上饶对称轴一周的载荷的累计结果。 单元上的体力的载荷移植公式为： 集中力 体力 面力 平面三角形单元： 4.8 轴对称问题分析实例 图2 带裙座封头的结构 封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图4-3所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于： 1）? 如何保证锻件的厚度； 2）如何保证成形后的裙座位置 厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。 制造带裙座封头要采用如左图所示的坯料。 图3 坯料结构 图4 成形分析的轴对称有限元模型 图5 成形初期的等效应力分布 图6 成形中间阶段的等效应力分布 图7 成形结束阶段的等效应力分布 图8 等效应变分布与成形缺陷 分析结果 分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄，会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁厚的增加量会超过10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。 通过有限元分析还发现，如果坯料上的凸台尺寸过大，会在封头的内壁上产生图8所示的