北航2010-2015年研究生数值分析期末模拟试卷与真题.doc

数值分析模拟卷A 一、填空（共30分，每空3分）1 设，则A的谱半径6^0.5_____，A的6_____. 2 设，则3_____, ＝___0_____. 3 设，是以0，1，2为节点的三次样条函数，-2______,c=____3____. 4 设是区间［0，1］上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则0, 1/2_____，_ _______. 5 设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的二、（14分）设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足（2）写出余项的表达式 三、（14分）设有解方程的迭代（1） 证明均有（为方程的根）；迭代法收敛定理（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少证明你的结论化后函数求导，直到m阶导数不为零，则m阶。 四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 五、（15分） 设有常微分方程的初值问题试用Taylor展开原理构造形如的方法，使具有二精度，并推导其局部截断误差主项 六、（15分） 已知方程组，其中（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛 七、（8分） 方程组，其中，A是对称的且非奇异设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明　其中和分别为A的按模最大和最小的特征值 数值分析模拟卷B 填空题（每空2分，共30分） 近似数关于真值有____________位有效数字； 设可微，求方程根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 对，差商_________________；________； 已知 ，则________________，______________________ ； 用二分法求方程在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________； 求解线性方程组的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径_______________； 为使两点数值求积公式：具有最高的代数精确度，其求积节点应为_____ , _____,__________. 求积公式是否是插值型的__________，其代数精度为___________。 二、（12分）(1)设，其中为下三角阵，为单位上三角阵。已知 ，求，。 (2)设为矩阵，将进行三角分解：，为单位下三角阵，为上三角阵，试写出中的元素和中的元素的计算公式。 三、（12分）设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式，满足 ， 并写出插值余项。 四、 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 设，给定松弛因子，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性。 五、（7分）改写方程为的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？ 六、（7分）证明解方程求的牛顿迭代法仅为线性收敛。 七、（12分）已知 （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式具有的代数精度； 用所求公式计算。 八、（8分）若互异，求的值，这里 数值分析模拟卷C 填空题（每空3分，共30分） 设，则差商 ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组时，若松弛因子满足，则迭代法 ； 3．设要使求的Newton迭代法至少三阶收敛，需要满足 ； 4. 设,用Newton迭代法求具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知 ，则__________,______ 6. 若，改变计算式=___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求= 。 二、（14分）已知方阵， (1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积； (2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组，其中。