最速降线问题仿真方法Matlab程序.ppt

一个引理 设集合E0={g(x)?C1 │g(a) =g(b)=0} 如果在[a,b]连续函数 f(x)满足 那么 f (x) ? 0 对?g (x) ?E0 ，总有 另一种方法－变分法 A B x y c 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y）处质点速度为 又设从A到P的弧长为s,则 从而质点沿曲线由A到B需时间 那么我们的问题成为 求某个 使得 引进集合 显然若 是最速曲线函数,则 于是函数 在 取得最小值 故得 设集合 那么对 依复合函数求导法 注意第二项 为了计算 ,记 上式乘以 这里 于是导出 注意从降线定义可知 故 1）可求解析解 解法 2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解 得到方程为 由于在原点y = 0 ,可改写方程 ? 求解析解提示： 解析解 function cycloid(G,H,n) if nargin==2 %两个参数则默认n为100 n=100; end g=9.8; h=H/n; minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n); x=0;y=0; while abs(G-x)1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c^2*v^2); gx(j)=x; gy(j)=y; end 最速降线问题仿真方法Matlab程序 if xG %判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c; else maxc=c; end end T=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j==1 s=sqrt(gx(1)^2+h^2); else s=sqrt((gx(j)-gx(j-1))^2+h^2); end T=T+s/v; end plot(gx,-gy); T end 取G=H=10，n=100 实验任务 1. 分别用数值方法和解析方法求出的最速降线 的曲线和下降时间,将两种结果比较 2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从 A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面 的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴， A为(0,（e+e-1)/2), B为(3，(e2+e-2)/2) (设c=π/2, H=1) 用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得 AB 弧长最短的曲线(短程线) 4. 在第3题中，将曲面改为 求在曲面上连接A(1,0,1),B(0,2,2)的最短弧线 （建议以数值和解析两种方法求解加以比较） 3. 圆柱面方程为 上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所 5. 若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线 需时间 注：若选择本次实验，必须完成任务1、2 谢谢各位！ 上海交通大学数学系 数学实验 寻找最速降线 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. ── C.F.Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. ── R.C.Buck ? 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 连续,多元函数极值,积分等 内容提要 ? 回顾微积分有关知识 ? 复习微分方程的求解的解析与数值方法 ? 最速降线求解的仿真方法 1696年John Bernoulli向他的兄长和其他 数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题: 一质量为m的质点，在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B， A B 试确定一条曲线，使得质 点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力 和其他阻力等因素. ? 此问题导致数学新分支的产生. 背景故事 思考 这是一个求最值的问题 ? 与求函数的极值一样吗？ ? 与求线性规划问题中的极值一样吗？ ? 它的数学形式怎样？ 历史 1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告 贝努利? 约翰 Bernoulli,Johann ? 欧洲著名科学家族 ? 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、 概率论以及变分法 ? 谁发现 L’Hospital 法则 ? 欧拉的