同济大学高数第10章 重积分.doc

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用. 多元函数积分学的起源 虽然微积分的创立者已经接触到了重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立多重积分理论的主要是18世纪的数学家． 18世纪，微积分进一步深入发展．牛顿在关于万有引力的计算中用到了多重积分的思想，但牛顿使用的是几何论述．后来，牛顿的工作被人们以分析的形式作了推广． 1748年，欧拉（Euler）1770年，欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记号并给出了用累次积分计算二重积分的方法，同时还讨论了二重积分的变量代换问题． 拉格朗日（Lagrange）1772年引入了三重积分的概念和三重积分的记号 在他的一篇关于旋转椭球体的引力的著作中，就用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究． 奥斯特罗格拉茨基（）Green）在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式． 10.1 二重积分的概念及性质 10.1.1 二重积分的概念 实例1 设函数在有界闭区域上连续，且．以函数所表示的曲面为顶，以区域为底，且以区域的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积． 图10.1.1 在上变动时,其高度是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下 第一步(分割).用一组曲线网将区域任意分成个小区域,,…,…，其中记号 (i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体，，，(i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小曲顶柱体的体积． 第二步(近似)．因为在区域上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域上任取一点，以为高，为底的小平顶柱体的体积作为第i个小曲顶柱体体积的近似值，即 ． 第三步(求和)．这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即 ． 第四步(取极限)．对区域分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值 (有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积，即有 ． 实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在平面上占有有界闭区域，此薄片在点处的面密度为，且在上连续．求该薄片的质量． 如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域任意分成n个小块，，在上连续，只要每个小块 (i = 1，2，…， n)的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在上任取一点，用点 图10.1.3 处的面密度近似代替区域上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片的质量的近似值 ； 整个薄片质量的近似值为 ． 将薄片无限细分，当所有小区域的最大直径时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量， 即 ． 尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念． 根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积是其曲顶函数在底面区域上的二重积分，即 ； 例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数在其所占闭区域上的二重积分，即 ． 关于二重积分的几点说明． (1) 如果函数在区域上的二重积分存在，则称函数在上可积．如果函数在有界闭区域上连续，则在上可积． (2) 当在有界闭区域上可积时，积分值与区域的分法及点的取法无关． (3) 二重积分只与被积