同济第3版-高数-(4.1) 第一节 不定积分的概念与性质.ppt

不定积分运算是由导数运算定义的，它可看成是导 数或微分运算的逆运算，因此其性质和计算规则和导数 运算有着密切的联系。 对于不定积分性质的讨论， 可考虑通过导数运算性质和 规则导出不定积分相应的 性质及运算规则。 C. P. U. Math. Dept. · 杨访 不定积分运算是由导数运算定义的，它可看成是导 数或微分运算的逆运算，其性质和计算规则和导数运算 有着密切的联系。因此，可考虑通过导数运算性质和规 则导出不定积分相应的性质及运算规则。 性质 1 和的积分等于积分的和 性质 2 常数可从积分号中提出 由不定积分定义，不定积分等式就是原函数等式， 因此只需证明等式两边的导数相等。 分别计算等式两边的导数 因此有 证等式两边导数相等 性质1、2 归纳为如下形式: ∫[k1 f( x )±k 2 g( x )]d x = k1∫f( x )d x ± k 2∫g( x )d x 因此称其为不定积分的线性运算性质。 性质1可推广到有限个函数的和的情形，即 * 微分学讨论引出了导函数概念及导数计算法。从计 算的角度看，求导数就是研究： 已知 f( x )求 f ?( x ). 实际问题的讨论中，常会遇到相反的问题，即 已知 f ?( x )求 f ( x ). 这就是不定积分研究的内容。 不定积分所讨论的是已知某函数的导函数 去确定该导函数是由什么函数求导而来的。 从计算上讲，求不定积分问题是导数运算 的逆运算，它应属于微分学的内容。 从概念上讲，确定一个函数是由什么函数 求导而来的是积分学讨论的问题，因而不定积 分又应属积分学问题。因此，不定积分内容是 微分学和积分学之间的桥梁。 (1) 问题的提出 已知速度求路程 研究物体运这动需知其位移函数。实际问题中，确 定质点位移函数常常是不便的，较方便的倒是测定质点 运动的速度。因此，需研究如何由已知质点运动的速度 函数 V( t )，去求质点运动的路程函数 S( t ). 抽象成一般问题就是：已知 f ?( x )求 f( x ). 在船舶制造中，需根据船体表面受力情况选择船体 形状 y = f( x ). 来自前方的阻力可分解为沿船体表面法 线方向和切线方向的两个分力。由于正压力不阻碍船的 前进，因此减小阻力关键在于减小沿切线方向的分力。 切线方向就是 f ?( x )的方向，切线方 向阻力的大小取决于曲线 y = f( x )的形状， 若能根据流体力学原理确定沿 f ?( x )方 向的阻力的大小，则可选择船体形状。 抽象成一般问题就是： 已知 f ?( x )求 f( x ). 已知斜率求曲线 水池有 100 L 溶有污染物的水溶液，其中污染物为 15kg. 现准备用清水冲洗，计划每分钟注入清水 5 L， 混合均匀溶液每分钟流出 4 L ，问: 1 小时后水池中的污 染物还有多少？ 由于清水的不断注入和混 合溶液的不断排出，水池中的污 染物的量 W 及和混合溶液的体积 V 都随时间 t 而不断改变，即有 W = W( t )，V = V( t ). 所求为：W( 60 )= ? 由导数 f ?( x )或微分 f ?( x )d x 求 f( x )的实例 利用导数或微分运算的逆运算求未知函数 设时刻 t 水池中含污染物的量为W( t )( 单位: kg ), 水池中的混合溶液的体积为V( t )( 单位: L ). 由变化率概念，每分钟排出的污染物 4W( t )/V( t ). 由条件易求得混合溶液排出的速度为 dV( t )/d t = 5 - 4 = 1. 于是由导数运算的逆转可求得 V( t )= t + C ，其中 C 为任意常数。 由已知当 t = 0 时，V( 0 )= 1000 . 因此求得： V( t )= t + 1000 . 求混合溶液体积变化函数 V( t ) 由导数概念可得污染物的排出的速度为 dW( t )/d t = - 4W( t )/V( t )= - 4W( t )/( t + 1000 ). 由微商概念，可对应地写出在时间段[ t ,t + d t ]内 污染物的排出量为 因此有 由于上式