含参变量的积分_习题课.ppt

含参变量的积分 习题课 一 函数　　的分析性质 定理１　若函数　　　 在矩形域 连续，则函数 在区间　　　也连续． 定理２ 若函数　　　与　 　在矩形域 连续，则函数 在区间　　 可导，且 ，有 或 定理３　若函数　　　 在矩形域 连续，则函数 在区间　　 可积，且 积分号下可积分． 定理４ 若函数　　　 与　　 在矩形域 连续，而函数 与 在区间　　 可导，且 ，有 则函数 在区间 可导, 且 二.一致收敛的判别方法 定理6 （一致收敛的柯西准则） 无穷积分 在区间 上一致 收敛 定理7　若 且无穷积分 收敛,则无穷积分 在区间 一致收敛. 定理8 狄利克雷判别法 若　　　　　　　 满足： １）当　　　　 时,积分　　　　　 对 一致有界； ２）　　　是　　的单调函数，且 时，关于　 一致趋于０． 则无穷积分　　　　　　　　在　　　　　　　　 上一致收敛． 定理9 阿贝耳判别法 若　　　　　　　 满足： 则无穷积分　　　　 　　　　在　　　　　　　　 上一致收敛． 1) 关于 一致收敛; 2)函数 　关于 单调, 且关于 在 上一致有界. 三、一致收敛积分的性质 1. 连续性定理 定理11 设 在 上连续，且无穷积分 在 上一致收敛，则一元函数 在 　上连续。 2.积分顺序交换定理 定理12 设 在区域 上连续，且无穷积分 在 上一致收敛，则一元函数 在 可积,且 积分号下可积分. 3.积分号下求导的定理 定理13 若函数 与 在区域 上连续，且无穷积分 在区间 上收敛， 而无穷积分 在区间 一致收敛,则函数 在区间 可导, 且 积分号下可微分. 练习 1　计算积分 2 计算无穷积分 结论 3. 计算 4.设 其中 是连续函数,求 5.证明:函数 满足方程 其中函数 是连续函数. 6　证明下列各题 在R上一致收敛． 在　　　　　　上一致收敛； 在　　　上不一致收敛． 其中　　　是常数． 一致收敛． 7　计算下列积分 8.证明:若函数 在区间 连续,则 有 9.证明： 当 一致 收敛。