复变函数与积分变换第13讲.ppt

拉氏逆变换 前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题, 即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t). 本节就来解决这个问题.由拉氏变换的概念可知, 函数f(t)的拉氏变换, 实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换. 因此, 按傅氏积分公式, 在f(t)的连续点就有 等式两边同乘以ebt, 则 右端的积分称为拉氏反演积分, 它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷. 而积分路线中的实部b则有一些随意, 但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留数方法计算. 定理 若s1, s2, ..., sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内), 且当s??时, F(s)?0, 则有 还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换. 根据拉氏变换的性质以及 最后得 卷积 1. 卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质. 两个函数的卷积是指 如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成 今后如不特别声明, 都假定这些函数在t0时恒等于零, 它们的卷积都按(2.20)式计算 按(2.20)计算的卷积亦有 |f1(t) * f2(t)|?|f1(t)| * |f2(t)|,它也满足交换律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)同样, 它还满足结合律与对加法的交换律, 即 f1(t) * [f2(t) * f3(t)] = [f1(t) * f2(t)] * f3(t) f1(t) * [f2(t) + f3(t)]= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t) 例1 求t * sin t 卷积定理假定f1(t), f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件, 且L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则 f1(t) * f2(t)的拉氏变换一定存在, 且 由于二重积分绝对可积, 可以交换积分次序 令t-t=u, 则 不难推证, 若fk(t)(k=1,2,...,n)满足拉氏变换存在定理中的条件, 且 L [fk(t)]=Fk(s) (k=1,2,...,n)则有 L [f1(t) * f2(t) *...* fn(t)] =F1(s)F2(s)...Fn(s) t O f1(t) f2(t) t O f1(t) f2(t-t) t t=t t O t