多元积分一.ppt

高等数学 第八章 多元函数积分学 §8-1二重积分的概念、性质 《概念》 ?????一. 两个实际问题 ???1. 曲顶柱体的体积 §8-1二重积分的概念、性质 极限： §8-1二重积分的概念、性质 其中 §8-1二重积分的概念、性质 §8-1二重积分的概念、性质 §8-1二重积分的概念、性质 性质1。 §8-1二重积分的概念、性质 性质5。（二重积分中值定理） §8-2 二重积分的计算 一、直角坐标系中二重积分的计算 §8-2二重积分的计算 在xoy平面区域 §8-2二重积分的计算 §8-2二重积分的计算 例：p164 例1、2、3、4 §8-2二重积分的计算 例：计算二重积分 §8-2二重积分的计算 例： §8-2二重积分的计算 例： §8-2二重积分的计算 例：求两个半经相等的圆柱面x2+y2=R2与 x2+z2=R2相交所形成的立体体积 §8-2二重积分的计算 例：改变积分次序 §8-2二重积分的计算 §8-2二重积分的计算 §8-2二重积分的计算 二、极坐标计算二重积分 §8-2二重积分的计算 1、极点不在区域D内 §8-2二重积分的计算 2、极点在D内 §8-2二重积分的计算 计算公式: 例：p166 例5 §8-2二重积分的计算 例2. 计算 §8-2二重积分的计算 例3: §8-2二重积分的计算 §8-3 二重积分的应用 §8-3 二重积分的应用 §8-4对坐标的曲线积分 §8-4对坐标的曲线积分 §8-4对坐标的曲线积分 §8-4对坐标的曲线积分 §8-4对坐标的曲线积分 §8-4对坐标的曲线积分 二、二重积分的物理应用 x y o a b 例： 匀质上半椭圆平面薄片，求重心。 重心坐标 《概念及性质》 一、概念 变力做功问题 A=M0 B=Mn Δxi Δyj M i-1 M i F(ξi,ηi) x y L 1、近似 直线代替曲线 2、求和 定义 p189 L 称为积分路径. 二、性质 性质1. 性质2. 性质3. 性质4. 闭曲线L的正向曲线积分: 性质5. A B L1 L2 D2 D1 D 柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 问题的提出 曲顶柱体 播放 求曲顶柱体的体积采用 “近似、求和、” 的方法． 求曲顶柱体体积的方法： 分割、近似、 求和、极限。 播放 步骤如下： 1. 分割 2. 近似 3. 求和 4. 极限 方法：分割→近似→求和→极限 分割：将区域D分成n个小区域 近似：小柱体体积 求和： z y x 0 ． 2．平面簿片质量 ???????????二.重积分的定义 定义1：设f(x,y)是定义在闭区域D上的二元连续函数， 将D 任意分割成 n个小区域： 表示相应小区域的面积。在每个小区域上任取一点 ，作和式 。如果各小区域直经中 最大值 趋于零时，和式极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分，记作 ，即 f(x,y)—被积函数, —被积表达式, —面积元素, 积分存在的必要条件： 若在区域D上可积，则f(x,y)在D上有界； 若f(x,y)在闭区域上连续，则f(x,y)在区域D 上可积。 积分值与区域分法无关。 直角坐标： 因此： 二重积分 有正负， 时，积分 大于零（曲顶柱体体积）；反之小于零。 有正有负时，积分取代数和。 二、二重积分的性质 性质2。 性质3。 性质4。 如果f(x,y)=1 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体底域D的 面积 。 性质6。如果在D上有 则 性质7。设M、m为D上的最大（小）值 A B 0 a b D x x y x y z A B a b x X+dx E C S(x) dy dS=f(x,y)dy 二、重积分计算公式 其中D是由直线y=1,2x-y+3=0 与 x+y-3=0 所围成的图形. 解:可先对x后对y积分,则 如果先对y后对x积分,则=D1+D2 x y o 3 3 1.5 1 X+y-3=0 2x-y+3=0 y=1 例：求二重积分 a a -a x y 0 X2+y2=a2 （a0),其中D是有直线 y=x+a,y=o,x2+y2=a2(第一象限部分） 所围成的区域。 解：先对x 积分，只积一次 x y -2 Y=2 Y=x+2 Y=x 0 解：先对 x 积分 y x Y=2 Y=1/x 0 1/2