多元积分学一(二重积分).ppt

多元函数积分学一（二重积分） 理学院基础数学部 朱捷 考试要求 1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的 性质，了解二重积分的中值定理。 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐 标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、 球面坐标）。 3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的 性质及两类曲线积分的关系。 4．掌握计算两类曲线积分的方法。 5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关 的条件，会求全微分的原函数。 6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分 的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。 7. 会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积 分。 8．了解散度与旋度的概念，并会计算。 9．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量 与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、 弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流 量等）。 一、二重积分 （一）、二重积分的性质 8. 设函数 （二）、曲顶柱体体积的计算 （三）、二重积分在直角坐标系下的计算 说明: (1) 若积分区域既是X - 型区域又是Y -型区域 , （五）、二重积分的换元法 例1 设 连续，且 例5 求 。 例10 设 为顶点三角形， 例13 计算 例17 计算 * * 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 7.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 记作 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 记作 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 设 则 特别, 对 （四）、二重积分在极坐标系下的计算 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 所围区域，则 等于（） 例2 求 . 例4 求圆 上的点到原点距离平方的 平均值。 例3 设 可微， 例6 围成。 注：虽然被积函数有 ，但此处不宜用极坐标。 例9 计算 围成。 （选择合适积分次序） 例7 计算 例8 计算 是第一象限的部分，则 等于（）。 例12计算 例11设 围成，连续。 例14计算 例15 计算 例16 计算 围成。 注：被积函数的不确定性。 之间的区域（注：无界，广义积分） *