多元微积分期中复习--.ppt

p38A： 1.（2） （3） 3.（2） 高阶偏导数 解 p39B: 3. 解： 多元复合函数的求导法则 解 代回x，y 解 p52A： 2. ，求 解： p52B： 3.（1） 解： 6.设 ，证明 解： 隐函数的求导 解 令 则 隐函数的求导 p52A： 5.设 ，求 解 令 则 p52A：同理第7题 6.设 ，求 解 则 全微分 解 所求全微分 p44A: 3.求函数 在点（1,1）处的全微分 解： 同理第4题 多元函数可微、偏导数存在与连续的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 * 大连东软信息学院 多元函数的极值 多元函数的极值和最值的存在条件和求解方法 拉格朗日乘数法 多元函数的极值 多元函数的极值 在点（2，2）处 求函数f(x, y)=x3-4x2+2xy-y2的极值 解：由 解得驻点为（2，2），（0，0） 在点（0，0）处 所以（0，0）为极大值点，极大值为0， 所以（2，2）不是极值点。 多元函数的最大值与最小值 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 解 则 条件极值与拉格朗日乘数法 1、二重积分的定义 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 例： 性质１ 当 为常数时， 性质２ ３、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积 例： P85 3 (1) 性质５ 若在D上， P84 A :1比较大小 性质６ 5.对称性 积分区域关于y轴对称，积分函数是x的奇函数，积分值为0； 积分区域关于x轴对称，积分函数是y的奇函数，积分值为0 。 （1） (2) = 0 . D：0 x 1,-1 y 1. = 0 . 大连东软信息学院 大连东软信息学院 * 大连东软信息学院 第一章 多元函数微分 空间解析几何 多元函数 偏导数 全微分 多元函数微分学应用 多元函数极值 * 大连东软信息学院 空间直角坐标系 空间点的坐标 空间两点间的距离 曲面方程 曲线方程 空间直角坐标系 Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间点的坐标 坐标轴 : 坐标面 : 关于哪个轴对称，那个字母不变，其他字母坐标位置变成相反数 空间两点间的距离 例 在 z 轴上求与两点 等距 故所求点为 及 离的点 . 解: 设该点为 几种常见曲面 p16A：2 求与坐标原点O及点 （2,3,4）距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程 解：设 是球面上的任一点，那么 即 整理得…… 例 方程 x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解: 配方得 可见此方程表示一个球面 半径为 球心为 旋转曲面 旋转双曲面 p16A：4 将xoz面上的抛物线 绕z轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。 解： 柱面 例 方程y2=2x和x－ y=0各表示怎样的曲面? 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆. 认识这种形状是空间曲线 空间曲线形式：方程组 * 大连东软信息学院 多元函数的基本概念 定义域, 多元函数 多元函数极限 多元函数连续 定义域（连续） 例函数 上间断. 在圆周 连续间断 p29A：2 求定义域 二元函数的极限 有界量*无穷小 解 (代入) （有理化） （重要极限） p29A:4代入法 * 大连东软信息学院 偏导数 二元函数的偏导数概念 偏导数计算 高阶偏导 全微分 偏导数与连续的关系 偏导数的概念 偏导数的计算 计算方法: 解 先求后代 解 复合偏导数的计算 解 大连东软信息学院 大连东软信息学院