多元微积分第一章(第1节).ppt

多元 微 积 分 第一节 空间解析几何 基本知识 作业: 2，3，4 x z y 0 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 (1). 椭圆抛物面 4. 抛物面 x z y 0 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 (1). 椭圆抛物面 . 4. 抛物面 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 x z y 0 截痕法 （马鞍面） (2). 双曲抛物面 * * 第一章 多元函数微分学 1.1 空间解析几何基本知识 1.2 多元函数的基本概念 1.3 偏导数和全微分 1.4 多元复合函数与隐函数的微分法 1.5 二元函数的极值 1.6 最小二乘法 1.7 偏导数在经济分析中的应用 第一章 三、 空间曲面与方程 一、 空间直角坐标系 二、 空间两点间的距离 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系的基本概念 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 空间中取一定点O,以O为原点作三条互相垂直的数轴且有相同的单位长度，按右手规则组成一个空间直角坐标系。 坐标面 卦限(八个) zox面 Ⅰ 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 二、 空间两点间的距离公式 则两点间的距离公式: 设两点 与 特别，M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离公式为: 例1. 求证以 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 例2. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 离的点 . 提示: (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 实数轴上的点 平面中的点 实数x 有序数对(x,y) 空间中的点 有序数组(x,y,z) 一般地，n元有序数组 称为n维空间中的点，并用 表示n维空间。 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)?0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)?0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)?0; (2) 满足方程F(x, y, z)?0的任意一个 当建立空间直角坐标系后， 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)?0或z=f(x,y) 有下述关系: 解构成的有序数组(x,y,z)一定是曲面S上某一点的坐标. 三、空间曲面与方程 例. 设点A(1, 2, 3)和B(2, ?1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|?|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x?6y?2z?7?0. 这就是所求的平面的方程. 解 一般地，三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 表示空间中的平面，其中A,B,C,D为任意常数，且A,B,C不全为零。 1.平面 故所求方程为 2. 球面 例. 求动点到定点 轨迹方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设 为轨迹上任一点, 即 依题意 距离为 R 的 球面方程特点：三元二次方程 Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0 平方项系数相同，没有交叉项。 定义. 空间中，一条直线l 沿着一条定曲线 平行移动所产生的曲面称为柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. 平行于z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线 叫做准线, l 叫做母线. 3. 柱面 x z y 0 母线 F( x,y )=0 z = 0 准线 (不含z) M (x,y,z) N (x, y, 0) S 曲面S上每一点都满足方程； 曲面S外的每一点都不满足方程 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面 点N满足方程，故点M满足方程