大学文科数学_张国楚_定积分.ppt

第六章 定积分 求总量的问题 （一）教学目标 教学目标：要求学生掌握定积分的概念、微积分基本定理、非正常积分、定积分的应用；要求理解定积分的概念，会求定积分与非正常，能利用定积分解决一些几何问题；理解李善兰对我国近代数学发展所起的作用。 （二）教学重点 教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用。 （三）教学难点、教学时数 （四）教学内容 §1特殊和式的极限——定积分的概念 §2计算定积分的一般方法——微积分基本定理 §3定积分的拓展——非正常积分 §4定积分的魅力显示——在若干学科中 的应用 数学家启示录 1.1抽象定积分概念的两个现实原型 原型Ⅰ 求曲边梯形的面积 设f(x)为闭区间 [a,b]上的连续函数，且f(x)≥0.由曲线y = f(x),直线x = a、x = b 以及 x 轴所围成的平面图形(图6.1)称为f(x) 在 [a,b]上的曲边梯形的面积s. 如果F是常量,则它对质点所作的功为W=F(b-a) 如果力 F不是常量,而是质点所在位置x 的连续函数 那么F 对质点 m 所作的功W应如何计算呢? 我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行. ⑵在连续变力F (x) 作用下,质点m 沿x 轴从点 a 位移到点b 所作的功为F (x) 在[a,b] 上的定积分,即 定积分的几何意义 当 f（x）≥0 时，定积分的几何意义就是以曲线y=f（x），直线 x=a、x=b以及x 轴为边的曲边梯形的面积S；但若 f（x）≤0 ，由定积分的意义可知，这时S为负值。对于一般函数f（x）而言，定积分S的值则是曲线在x 轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和。 1.3求定积分过程中的辨证思维 无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎刃而解. 定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则。同时也体现了否定之否定法则。 1.4可积条件 定理1 （可积的必要条件） 若函数f（x）在[a，b] 上可积，则 f（x） 在 [a，b] 上有界。 定理2 （可积的充分条件） 若 f（x） 是闭区间[a，b] 上的连续函数，或者是闭区间[a，b] 上的单调函数，或者是[a，b] 上只有有限个间断点的有界函数，则f（x） 在[a，b] 上可积。 定理5 （有界性）设 m，M 分别是 f（x） 在[a，b] 上的最小值和最大值。 若f（x）在[a，b] 上可积，则 作业 必作题： 用定积分的定义计算 选作题： 习题6第一题。 思考题 定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？ 2.1微积分基本定理 即函数 是被积函数f（x）在 [a，b]上的一个原函数。 得 C = F(a).于是 2.1定积分的换元积分法和分部积分法 定理2（定积分分部积分法）若 u，v是[a，b] 上具有连续导数的函数，则 例5计算 作业 必作题 习题6 第二题、第四题、第五题。 选作题 习题6第三题。 思考题 1、定积分的换元积分法中应注意的事项？ 2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？ §3定积分的拓展——非正常积分 无穷限积分的几何意义 解 任取实数a ,讨论如下两个无穷限积分： 作业 选作题 习题六第六题。 思考题 检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法。 4.1微元法 并且 f（x）dx 就是总量Q的微元（即Q 的微分）dQ ，即dQ（x）=f（x）dx 其次，把总量Q 的微元dQ（x）=f（x）dx 在区间[a，b] 上求和，写出定积分，即求得所求的总量Q，即 4.2在几何学中的应用 平面图形的面积 由截面面积求立体体积 平面图形的面积 一般地，求由两条连续曲线y=f（x）（x≥0）及直线x=a，x=b（a＜b）所围成的平面图形的面积，如图（图6.8）所示,可在区间[a，b ]内任取两点x，x+dx, 作出图中的阴影矩形,则面积微元为 由截面面积求立体体积 它是薄片的体积 △V 的近似值,即△V ≈dV=A(x)dx 4.3在物理学中的应用——变力作功 设物体在变力y=f(x) 作用下,沿x