大学数学-课件-第七章线性变换第二节.ppt

主要内容 线性变换的乘积 第二节 线性变换的运算 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例 (A B ) ( ? ) = A (B ( ? ) ) (? ? V ). 一、线性变换的乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法. 1. 定义 定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变 换，定义它们的乘积 A B 为 (A B )C = A (BC ) . 2. 性质 性质 1 线性变换的乘积是线性变换. 性质 2 结合律 注意：线性变换的乘法一般不满足交换律. 例如，在实数域 R 上的线性空间 R[ x ] 中，线性 变换 D ( f ( x ) ) = f ? ( x ) , 的乘积 DI =E ，但一般 I D ? E . 对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位. 对于 任意线性变换 A 都有 I A E = E A = A . 二、线性变换的加法 1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变 换，定义它们的和 A + B 为 (A + B ) (? ) = A (? ) + B (? ) (? ? V ) . 2. 性质 性质 1 线性变换的和是线性变换. 性质 2 零变换与所有线性变换 A 的和仍等 于 A ： 负变换：线性变换 A 的负变换定义为： ( - A ) (? ) = - A (? ) (? ? V ). A + 0 = A . 3. 运算规律 1) 交换律 A + B = B + A . 2) 结合律 3) A +( - A ) = 0 . 4) 乘法对加法的左右分配律 A + (B + C ) =(A + B ) + C . A (B + C ) =A B + A C , (B + C ) A =B A + C A . 三、线性变换的数量乘法 1. 定义 在上一节 中我们看到, 数域 P 中每个数 k 都决定一个数乘变换 K . 利用线性变换的乘法 , 可以定义数域 P 中的数与线性变换的数量乘法： 定义4 数域 P 中的数与线性变换的数量乘法 定义为 k A = K A , 即 (k A ) (? ) = K (A (? ) ) = K A (? ) . 显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A . 对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间. 对于线性变换，我们也可定义逆变换. 四、线性变换的逆变换 1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A -1 . A B = B A = E . 2. 性质 如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变换 A -1 也是线性变换. 证明 因为 A -1(? ? ? ) = A -1[(A A -1) (? ) + (A A -1) (? )] = A -1[A ( A -1(? ) ) + A ( A -1 (? ) ) ] = ( A -1A ) ( A -1(? ) + A -1 (? ) ) = A -1(? ) + A -1 (? ) . A -1( k? ) = A -1( k (A A -1) (? ) ) = A -1( k (A ( A -1) (? ) ) ) = A -1(A ( k A -1 (? ) ) ) = ( A -1A ) ( k A -1 (? ) ) = k A -1 (? ) . 所以 A -1 是线性变换. 证毕 五、线性变换的多项式 1. 线性变换的幂 下面引进线性变换的多项式的概念. 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线 性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的, 与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数) 线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A n 个 来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即 A n = A A ... A n 个 另外，规定 A 0 = E .