大学物理 12.5 薛定谔方程和能量本征方程.ppt

* 12.5 薛定谔方程和能量本征方程 12.5.1 自由粒子薛定谔方程 12.5.2 薛定谔方程和哈密顿量 12.5.3 能量本征方程和定态 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在牛顿力学中的作用是一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。 12.5.1 自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数： 对时间求导并乘以i?，得 对坐标x求导两次并乘以 ，得 ：粒子动能， 对应粒子的动能。 ? 自由粒子薛定谔方程 比较两式，得 是它的解 自由粒子波函数 对波函数进行某种运算或作用的符号 算符： 假设存在算符的对应关系 和 都是算符。 例如 两边作用到波函数?(x,t)上，得自由粒子薛定谔方程 设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为 12.5.2 薛定谔方程和哈密顿量 算符对应关系： 作用到波函数?(x,t)上，得薛定谔方程 1. 薛定谔方程 表示非相对论性粒子的波函数随时间的演化规律。已知势能函数U(x,t)，给定初始时刻波函数?(x,0)，求解薛定谔方程就可以得到任一时刻粒子的波函数?(x,t)。 是一个线性的齐次方程，保证波函数满足叠加原理： 若?1(x,t)和?2(x,t)是方程的解，代表粒子的两个可能状态，则它们的线性叠加C1?1(x,t)+ C2?2(x,t)也是方程的解，也代表粒子的一个可能状态。 2. 哈密顿量 定义为 外界对粒子的作用，包括不能用力表示的微观相互作用，一般都能用哈密顿量来概括。 算符 对应粒子的动能，因此哈密顿量 对应粒子的能量。 引入 后，薛定谔方程可写成 这表明，哈密顿量 决定了波函数 随时间的演化。而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。 对于三维运动粒子 在原子、分子和凝聚态物质中粒子的运动速度远小于光速，相对论效应可以忽略，因此用薛定谔方程可以很好地描述这些系统。 1933年诺贝尔物理学奖 1932年诺贝尔物理学奖 12.5.3 能量本征方程和定态 1. 薛定谔方程的分离变量求解 如果哈密顿量不显含时间，即势能只是坐标的函数U(x)，则薛定谔方程可分离变量求解： 常量 E 与 t 和 x 均无关。 2. 能量本征方程和定态 不含时薛定谔方程可写成 在数学上，如果一个算符作用到函数上等于一个数量乘这个函数，则这个方程称为该算符的本征方程。 ? 哈密顿量 的本征方程、能量本征方程 在数学上，只要给定U(x)，一般对任何E值能量本征方程都有解。 但在物理上还要求波函数Φ(x)满足自然条件，方程只对一些特定的E值才有解。 *