定积分在物理问题中的应用.ppt

第六节 一、 变力沿直线所作的功 例1 例2 例3 二、液体的侧压力 例4 说明: 三、 引力问题 例5 说明: 内容小结 同理 第五章 定 积 分 高等数学（上） 第六节 定积分在物理问题中的应用 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 定积分在物理问题中的应用 第六章 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ? a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 一个单 求电场力所作的功 . 解 当单位正电荷距离原点 r 时, 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 电荷所产生的电场作用下, 由 电场力为 库仑定律 +q (k为常数) 体, 求移动过程中气体压力所 解 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( J ) 设水的密度为 (N) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 建立坐标系如图. 面积为 A 的平板 设液体密度为 ? 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 小窄条上各点的压强 ? 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 建立坐标系如图. 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑 对质点的引力, 则需用积分解决 . 物体 其中k 为引力系数. 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解 细棒上小段 对质点的引力大小为 故铅直分力元素为 在 试计算 建立坐标系如图. 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的铅直分力为 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 则有 当细棒很长时,可视 为无穷大 , 1) l 引力大小为 注意正负号 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 一般元素的几何形状有: 扇、片、壳 等. 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力. 条、段、环、带、 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 的步骤: Q (1) 先用元素法求出它的微分表达式 dQ (2) 然后用定积分来表示整体量 , 并计算之. Q 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方, 提示: 在点O 处有一单 位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 设星形线 如图. 思考与练习 故星形线在第一象限的弧段对该质点的 引力大小为 第五章 定 积 分 高等数学（上） 第六节 定积分在物理问题中的应用 * * * *