定积分在几何问题中的应用.ppt

第五节 2. 什么问题可以用定积分解决 3. 如何应用定积分解决问题 二、平面图形的面积 例1 例2 例3 例4 2. 极坐标情形 例5 例6 心形线 例7 例8 1. 旋转体的体积 注 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 思考: 四、平面曲线的弧长 1. 曲线弧由直角坐标方程给出: 2. 曲线弧由参数方程给出: 3. 曲线弧由极坐标方程给出: 例14 例15 例16 2. 试用定积分求圆 方法2 补充题 2. 4. 解 例13 所围立体(椭球体) 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 计算由曲面 垂直 x 轴的截面是椭圆 当曲线上每一点都具有切线，且切线随切点的 移动而连续转动，这样的曲线成为光滑曲线. 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理 (证明略) 则称 注记： 任意光滑曲线弧都是可求长的. 定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解 下垂 悬链线方程为 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 一拱 的弧长 . 解 计算摆线 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解 求阿基米德螺线 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 面积元素: 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : (柱壳法) 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 交点为 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 旋转而成的环体体积 V. 利用对称性 说明: 上 半圆为 下 此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示). 用柱壳法 上式可变形为 解 1. 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其他. 又 故在区域 求曲线 分析曲线特点 解 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 （舍去） 第四章 不定积分 高等数学（上） 第三节 分部积分法 定积分在几何问题中的应用 二、平面图形的面积 三 、两种特殊立体的体积 第五章 一、定积分的元素法 四 、平面曲线的弧长 1. 旋转体的体积 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 回顾 曲边梯形求面积的问题 1. 再论曲边梯形的面积 a b x y o A 研究步骤如下 （1）把区间 分成 个长度为 的小区间， 的近似值 求和取极限，得A的精确值 （2） 相应的，第 个小窄曲边梯形的面积为 ，则 一、定积分的元素法 并取 ， 若用 表示任一小区 间 上的窄曲边梯形的面 分析： a b x y o 面积元素 则有 就是所求面积的典型元素（简称典型元或微元）. 工程应用上需用定积分解决的问题，常用微元分析法. 积，则 于是 表示为 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有 , 可加性 第一步 微分表达式 第二步 积分表达式 这种分析方法称为 近似值 精确值 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 元素法 (或微元分析法 ) 元素 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 的几何形状常取为: 等 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右图所示图形面积为 所围图形 的面积 . 解 由 得交点 ，则 计算两条曲线 与直线 的面积 . 解 由 得交点 所围图形 则有 计算抛物线 为简便计算, 选取 作积分变量, y 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a =