定积分在生活中的应用.doc

目录 1.定积分的概述 1 1.1定积分的定义 1 1.2定积分的性质 2 1.3定理 9 1.4方法 10 2.定积分的应用 10 2.1计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 10 2.2定积分在物理中的应用 15 6小结 19 致谢 20 英文翻译部分 21 定积分在生活中的应用 姓名： 学号：201004110110 指导老师：胡业刚 摘要:定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。 关键词：微元法; 定积分; 数列极限 前言::定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。 1.定积分的概述 1.1定积分的定义 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点， 把区间分成个小区间： 有且 各个小区间的长度依次为，，…，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），并作出和。记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 == []公式（1） 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。 1.2定积分的性质 性质1 若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且 .1　　　　　　公式（2）　　　　　 证 当k=0时结纶显然成立. 当k时,由于 其中J=因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给 　　　 从而 　　 　 即kf在［a,b］　 性质２　若f﹑g都在［a,b］f在［a,b］　　1　　 公式（3） 证明与性质１类同。 注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为 　　　 其中﹑为常数。 注2 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积. 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积. 性质３ 若f﹑g都在［a,b］f·g在［a,b］f、ga,b］　Ｂ 且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、gf、g由f、g、　　 令（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T）a,b]上T所属的每一个，有 利用§3习题第1题，可知 这就证得f·g在[a,b]上可积. 注 在一般情形下. 思考：有没有相除后可积的性质？ 若f﹑g都在［a,b］m0,x[a,b],则在[a,b]上可积. 事实上，由条件可证在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知在[a,b]上可积. 性质4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给，在[a,c]与[c,b ]上都可积。此时又有等式 1 公式（4） 证 [充分性] 由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给分别存在对[a,c]与[c,b]的分割，使得 现令它是[a,b]的一个分割,且有 由此证得f在[a,b]上可积. [必要性] 已知f在[a,b]上可积,故任给存在对[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由§3习题第一题,又有 分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为,则有 这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积. 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,