导数的概念(平均变化率).ppt

* 高中选修１-１ 高二数学备课组　　任小勇 问题情境 　　　　　　　　某市2004年3月18日、4月18日、4月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃、33.4℃,气温曲线如图所示: 18.6 3.5 o 1 32 34 33.4 t (d) T(oC) A(1,3.5) B(32,18.6) C(34,33.4) 气温曲线 问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？ 问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？ 33.4℃ 18.6℃ 3.5℃ 日最高气温 4月20日 4月18日 3月18日 时间 温差15.1℃ 温差14.8℃ 18.6 3.5 o 1 32 34 33.4 t (d) T(oC) A(1,3.5) B(32,18.6) C(34,33.4) 气温曲线 t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T (℃) 2 10 以3月18日作为第一天，温度随时间变化的图象如左图. 问题1’ 问题2’ 图中哪一段图像更“陡峭”？ 如何量化图像的“陡峭”程度？ 33.4℃ 18.6℃ 3.5℃ 日最高气温 4月20日 4月18日 3月18日 时间 [问题1] 你能用数学语言来解释BC段曲线的陡峭程度吗？ t(d) 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) T (℃) 2 10 18.6 3.5 o 1 32 34 33.4 t (d) T(oC) A(1,3.5) B(32,18.6) C(34,33.4) 气温曲线 yC-yB xC-xB 化 曲 为 直 （1）仅考察 的大小，能否精确量化BC段陡峭的程度？ （2）还必须考察什么量？ （3）曲线上BC之间的一 段几乎成了直线，由此联 想到如何量化直线的倾斜 程度？ [问题２]如果将上述气温曲线看成是函数y =f(x)的图象, 则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为 A C y=f(x) o 1 34 x y f(1) f(34) f(34) - f(1) 34-1 [问题3]在区间[1,x1]上的平均变化率为 o 1 34 x y A C y=f(x) x1 f(x1) f(1) f(34) [问题3] 在区间[x2，34]上的平均变化率为 o 1 x2 34 x y A C y=f(x) x1 f(x1) f(x2) f(1) f(34) 你能否归纳出 “函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？ 一般地，函数　　在区间上 的平均变化率为 x 0 y 建构数学理论 注意：不能脱离区间而言 (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 建构数学理论 (1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. （以直代曲思想） （数形结合思想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚 定义理解 [问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率. o 1 32 34 t (d) T(℃) 18.6 3.5 33.4 A(1,3.5) B(32,18.6) C(34,33.4) 气温曲线 气温在区间[1，32] 上的平均变化率约为0.5； 气温在区间 [32，34]上的平均变化率为7.4。 平均变化率的“大小”与图像的“陡峭”程度有什么关系？ 思考: 变式探究 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深x的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状…………( ) O x H y B 例１　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） 平均变化率的绝对值越大,则变化越快. （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. 数学应用 乙 甲 １.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快? (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)； (2)计算平均变化率　　　　　　　　　　. 题后反思 求函数的平均变化率的步骤: 例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 4 3 2.1 2.001 （5）[0.9，1]； （6）[0.99，1]； （7）[0.999，1]. 变题: 1.99 1.9 1.999 课后思考:为什么趋近