常微分方程(王高雄)第三版 3.4.ppt

* * §3.4 奇 解 一、包络和奇解 1 包络的定义 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切. 对于给定的一个单参数曲线族： 其中 为参数. 若存在一条曲线 满足下列条件: (1) (2) 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线. 则称 为曲线族 的一条包络线, 简称为包络. 或定义： 例如 单参数曲线族： （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 问题:对于给定的单参数曲线族: 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程 注: 例1 讨论 的包络. 解: 记 则 消去参数c, 得 于是 和 是两支c-判别曲线. 经验证, 和 是 的包络. O x y 包络 例2 求直线族: 的包络. 这里 是参数, 是常数. 例3: 求曲线族 的包络. 解: 记 则 消去参数c，由(2)得 (3)代入(1),得 化简得 于是 的两支c-判别曲线为: 1、将 代入(2), 得 于是得到一支c-判别曲线 2、将 代入(2), 得另一支c-判别曲线 显然 因为对任意的 考察 解之得, 对 切线不存在; 所以 不是 的包络; 对 在 点的切线的斜率为 对任意的 则有 因为 所以 所以 于是, 在 点的切线的斜率为 是 的包络. 考察 x y O 定义2 对于一阶微分方程 F（x,y,y’）=0. 如果存在一条曲线 满足下列条件： (1) 为方程的一条积分曲线; (2) 上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该 点相切. 则称曲线 (即积分曲线)为方程F(x,y,y’)=0 的一条奇积分曲线, 所对应的解称为奇解. 注：方程F(x,y,y’)=0 的奇解是这样的一个解，使的在它上面的每 一点处,存在唯一性不成立. 3 奇解 例如: 问题:给定一个具体的微分方程F(x,y,y’)=0, 如何求它的奇解呢? 结果：对于一阶微分方程F(x,y,y’)=0，设 是它的通解。如果积分曲线族 的包络 存在，则包络 就是方程 F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线，即 所对应的解就是方程F(x,y,y’)=0的奇解。 例4: 求微分方程 的奇解. 解: 令 求得它的通解为: 令 消去参数c,得到 和 经检验: 不是 的包络,从而 不是方程的奇解 (实际上 不是方程的解); 是 的包络, 从而 是方程 的奇解. 问题: 能否不通过求方程F(x,y,y’)=0的通解，而由方程F(x,y,y’)=0本身求它的奇解呢? 由隐方程的存在唯一性定理：对于 如果 但 则初值问题: 在 (h为足够小的正数)，上存在唯一解. 因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组: 消去参数p而得到的曲线 中. 4 奇解的求法 方程 的奇解包含在由方程组 注: 定理2: 设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数. 若微分方程F(x,y,y’)=0有奇积分曲线, 则它必含在F(x,y,y’)=0的 附注: p-判别曲线 中. 从方程F(x,y,y’)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为 方程F(x,y,y’)=0的奇积分曲线, 即奇解, 需要作进一步验证: 该支曲线是方程F(x,y,y’)=0的积分曲线; (2) 该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y’)=0的另外一条 积分曲线经过,且两者在该点相切. 如果(1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线;如果(1)成立, 而(2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线 只有当(1)和(2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解 . 例5: 求微分方程 的奇解. 解: 从 消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即 由于方程的通解为: