平面解析几何复习课.ppt

因为原点到l1和l2的距离相等, 所以 解得a=2或 因此或 主题三 圆及直线与圆的位置关系 【典例3】(2013·湛江高一检测)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线l经过点P(0,-2). (1)当直线l与圆相切时,求此时直线l的方程. (2)已知点M在圆C上运动,求点M到直线l的距离的最大值,并求此时直线l的方程. 【自主解答】(1)圆的方程可整理成(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心为C(1,1),半径r=1. 当直线垂直于x轴时,直线与圆相切,符合题意,此时直线方程为x=0. 当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx-2,因为直线与圆相切,所以 解得k= ,直线方程为y= x-2. 所以切线方程为x=0或y= x-2. (2)连接CP,可知,当直线l⊥线段CP时,圆心C到直线的距离即为 CP的长. 当直线l不垂直线段CP时,圆心到直线的距离d|CP|, 所以动点M到直线的最大距离为 此时直线的斜率k满足k·kCP=k· =-1,解得k=- . 所以点M到直线的最大距离为 +1,此时直线方程为y=- x-2. 【方法技巧】直线与圆位置关系的判断方法盘点 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 【补偿训练】(2014·福建高一检测)已知圆x2+y2-2ax-6ay+ 10a2-4a=0(0a≤4)的圆心为C,直线L:y=x+m. (1)若a=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值. (2)若m=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值. (3)若直线L是圆心C下方的切线,当a变化时,求实数m的取值范围. 【解析】圆C的方程可化为 (x-a)2+(y-3a)2=4a, 所以圆心C(a,3a),半径r=2 , (1)若a=2,则C(2,6),r=2 , 因为弦AB过圆心时最长, 所以|AB|max=4 . (2)若m=2,则圆心C(a,3a)到直线x-y+2=0的距离 直线与圆相交,所以dr,所以a2-4a+10且0a≤4, 所以 又 所以当a=2时,|AB|max= (3)圆心C(a,3a)到直线x-y+m=0的距离 因为直线L是圆心C的切线, 所以d=r,即 所以m=2a± 因为直线L在圆心C下方, 所以m=2a- , 因为a∈(0,4], 所以当a= 时,mmin=-1;当a=4时,mmax=8-4 , 故实数m的取值范围是[-1,8-4 ]. 主题四 与圆有关的最值问题 【典例4】(1)圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是　(　　) A.36 B.18 C.6 D.5 (2)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0, ①求 的最大值和最小值; ②求y-x的最大值和最小值; ③求x2+y2的最大值和最小值. 【自主解答】(1)选C.圆的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=18,其圆心到直线x+y-14=0的距离 因为dr,所以直线与圆相离,所以最大距离与最小距离的差是半径的2倍,即 故选C. (2)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆. ①设 =k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值, 此时有 故 的最大值是 ,最小值是- . ②设y-x=b,即y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时b取得最大值和最小值, 此时 故y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- . ③x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何的知识知,其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值, 又知圆心到原点的距离为2, 故x2+y2的最大值为(2+ )2=7+4 , 最小值为(2- )2=7-4 . 【方法技巧】与圆有关的最值问题的转化方法 (1)形如μ= 的最值问题,可转化为动直线的斜率的最值 问题. (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问 题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间的距离 的平方的最值问题. 【补偿训练】(2013·泰兴高二检测)已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动. (1)求 的最大值与最小值. (2)求2x+y的最大值与最小值. 【解析】(1)设 =k,则k表示点P(x