广义积分与 函数.ppt

6.9 广义积分与 函数 定义1 例2. 计算广义积分 例3.广义积分 定义2. 例4. 计算广义积分 函数: 例6. 解： * 二、无界函数的广义积分 定积分 积分区间为闭区间 被积函数为有界函数 推广 一﹑无限区间上的广义积分 广义积分 三、 函数 若 则称此极限为f (x)在 此时也称 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称 发散 . 类似地 , 则定义 一.无限区间上的广义积分 (无穷限广义积分) 上的广义积分, 存在 ， 上连续 , ． ． 记作 即 上连续 , 设f (x)在 设f (x)在 则称二者之和为 与 都收敛， 如果 上连续， 设 f (x)在 f (x)在 则有 收敛， 上的广义积分， 即 记作 取 的计算法： 否则称 发散 . 此时也称 说明: F (x)是 f (x)的原函数 用定义； ① ② 用以下 类似于 牛—莱公式 的表达式： 其中， 例1. 求广义积分 解: 法1： 法2： √ √ 解: 另法: √ 解： 当 取什么值时收敛， 取什么值时发散 . 当 发散 . 当 时, 当 收敛 , 时, 特例： 发散 . 都收敛； ≠ 1 时, 其值为 存在 , 这时也称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 称广义积分 发散 . 类似地 , 如果 在(a ,b]上的广义积分, 则定义 则称此极限为 f (x) (瑕积分) 二、无界函数的广义积分 （点a为瑕点） 设f (x)在(a ,b]上连续， 即 记作 设f (x)在[a ,b)上连续， (点b为瑕点) 若广义积分 与 都收敛， 则定义广义积分 此时也称广义积分 收敛； 否则称 发散或不存在。 设f (x)在[a ,b]上 且 外连续， （点c为瑕点） 说明： ，先判 除点c 广义积分 瑕积分的记号与定积分的记号 完全一样！ 是定积分 还是广义积分？ 当f (x)为商时， 易是广义积分 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 解： 瑕点为 下述解法是否正确: 例5. 讨论广义积分 的收敛性 . 解: 广义积分 发散 . 为瑕点 发散 . 三. 是參变量r 的函数， 称为 函数。 结论：1.此积分是收敛的。 这是一个递推公式，利用它，计算 函数的任一个 函数值都可以化为计算 函数在 上的函数值。 2. 重要性质： 例： 特例： 计算下列各值： 解：