广金微积分7.2多元函数的基本概念.ppt

四.多元函数的极限 设函数 z = f (x, y) 在点 的某一去心 方式趋于定点 时, 或 记作 的极限， 则称 A 为函数 z = f (x, y) 常数 A, 函数值 f (x, y) 趋于一个确定 如果动点 P(x, y) 在该邻域内以任意 邻域内有定义, 1.定义 （一）二元函数的极限 (二重极限) * * 指当P (x, y) 以任意方式与方向趋于定点P0(x0, y0), 二元函数极限的说明： (2)对于二元函数极限的不存在, 以不同路径趋于点 时, 在某一路径上点P (x, y) 趋于点 的极限不存在, 则可以断定函数在 点的极限不存在. 特征. 即极限趋近方式具有任意性 于A. 函数都无限接近 （1）对于二元函数极限的存在是 或 函数趋于不同的值; 则有若当点 P (x, y) （两种路径） 四.多元函数的极限 * * 例1 考察函数 在 处的极限是否存在. x y -1.0 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 1.0 -1.0 0.00 0.60 0.92 1.00 0.92 0.60 0.00 -0.5 -0.60 0.00 0.72 1.00 0.72 0.00 -0.60 -0.2 -0.92 -0.72 0.00 1.00 0.00 -0.72 -0.92 0 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 0.2 -0.92 -0.72 0.00 1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.5 -0.60 0.00 0.72 1.00 0.72 0.00 -0.60 1.0 0.00 0.60 0.92 1.00 0.92 0.60 0.00 做出函数在点 附近的函数值表，如下 函数 在 处的极限不存在. 四.多元函数的极限 * * 例1 证明函数 在 处的极限不存在. 让 沿直线 而趋于 ， 它将随k 的不同而具有不同的值. 极限 不存在. 证 则有 因此， 四.多元函数的极限 * * 例2 讨论函数 解 当P(x,y)沿 x 轴趋于(0,0)时, 当P(x,y)沿 y轴趋于(0,0)时, 当(x, y)→(0, 0)时的极限。 三.多元函数的极限 * * 当P(x,y)沿 y=kx( ) 趋于(0,0)时,. 当k取不同值时, 取不同值， 三.多元函数的极限 * * 确定极限不存在的方法： （2） 找两种不同趋近方式， 此时也可断言 ) , ( y x f 在点 若极限存在, 但两者不相等， 例3 证明 不存在． 处极限不存在． * * 例3 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 确定极限不存在的方法： * * 不存在. 观察 播放 确定极限不存在的方法： * * 2. 二元函数极限的计算 对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化成确定型. 二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则. 计算二元函数的极限时，常把二元函数极限转化为一元函数极限问题，再利用四则运算法则、夹逼定理、作变量代换、两个重要极限、无穷小替换、对函数作恒等变换约去零因子、还可利用多元初等函数的连续性. 三.多元函数的极限 * * 解: 例4 求 2. 二元函数极限的计算 二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则. * * 二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则. 例5 求极限 解 例6 求极限 解 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 2. 二元函数极限的计算 * * 例7 求极限 解 其中 2. 二元函数极限的计算 * * 多元函数的极限 多元函数的极限定义 概念.并将其统一为点函数形式. 同二元函数类似，可以定义多元函数的极限 （一）二元函数的极限 * * 小 结 三、二元函数的极限 一、平面区域与n维空间 二、二元函数的定义、定义域、图形 作业 P322 4（1,3），5（4，5） 7.2 多元函数的基本概念 * * * * 下次课内容 7.2.4 多元函数的连续性 7.3 偏导数 二.多元函数极限的