广金微积分9.2一阶微分方程(二).ppt

故得原线性非齐次微分方程的通解为 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 例2 * 解法2 公式法 将其代入公式通解公式，得通解 * 将方程标准化为 于是 由初始条件 故所求特解为 得 例3 解 的特解. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 注意: 类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程 同时也有常数变易法. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 例4 则方程可改写为 解 对于未知函数x(y为自变量)来说， 其通解公式为 性非齐次方程 上式方程为一阶线 由方程变为 则显然不是线性微分方程. （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 这里 将其代入通解公式， 得所求方程的通解为 * 例5 解 方程化为 其中 . 0 2 ) 6 ( 2 的通解 求方程 = + - y dx dy x y （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 所以 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 例6 解 代入通解公式得 将 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 例7 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 即 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * 所求曲线为 （二）一阶线性非齐次微分方程的求解 * （1）分离变量; （2）两端积分------隐式通解. 1、可分离变量的微分方程: 2、齐次方程 分离变量法 替换分离法 小结 典型的一阶微分方程求解方法 即得原方程的解。 求出它的通解后, （初等积分法） * 3、一阶线性微分方程 （通解公式） ①公式法 ②分离变量法 ②求线性非齐次方程 的通解. ①线性齐次方程的 的通解. ①公式法 （通解公式） ②常数变易法 典型的一阶微分方程求解方法 （初等积分法） * 小结 作业 P385 3（4，7），5（1，2，4） * 下次课内容 第十章 差分方程初步 思考题 1.求解微分方程 2.方程 是否为齐次方程? 9.2 一阶微分方程 * 思考题解答 为所求解. 9.2 一阶微分方程 1.求解微分方程 解: * 解:方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 9.2 一阶微分方程 2.方程 是否为齐次方程? * 9.2 一阶微分方程 解: * 练 习 题 一、求下列微分方程的通解 : 1 . 0 tan sec tan sec 2 2 = + xdy y ydx x ； 2 . 0 ) ( ) ( = + + - + + dy e e dx e e y y x x y x ； 3 . 0 ) 1 ( 3 2 = + + x dx dy y . 二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 : 1 . xdx y ydy x sin cos sin cos = , 4 0 p = = x y ； 2 . 0 sin ) 1 ( cos = + + - ydy e ydx x , 4 0 p = = x y . * 练 习 题 * 五、 求下列齐次方程的通解 : 1 . 0 ) ( 2 2 = - + xydy dx y x ； 2 . 0 ) 1 ( 2 ) 2 1 ( = - + + dy y x e dx e y x y x . 六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 : 1 . 1 , 0 2 ) 3 ( 0 2 2 = = + - = x y xydx dy x y ； 2 . , 0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 = - + + - + dy x xy y dx y xy x 1 1 = = x y . 练 习 题 * 七、求下列微分方程的通解 : 1 . x e x y y sin cos - = + ￠ ； 2 . 0 ) ln ( ln = - + dy y x ydx y ； 3 . 0 2 ) 6 ( 2 = + - y dx dy x y . 八、求下列微分方程满足所给初始条件的特解 : 1 . 4 , 5 cot 2 cos - = = + = p x x y e x y dx dy ； 2 . . 0 , 1 3 2 1 3 2 = = - + = x y y x x dx dy 练 习 题 * 练 习 题 * 十、