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数学方法论 第三章 　 数学中的逻辑推理 0 数学思维概述 数学思维概述 数学思维概述 数学思维概述 数学思维概述 §1 归纳推理 §1 归纳推理 §1 归纳推理 §1 归纳推理 §1 归纳推理 §1 归纳推理 §2 类比推理 §３演绎推理 演绎推理 演绎推理 演绎推理 演绎推理 演绎推理 演绎推理 §4 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 分析与综合 §5 证明与反驳 数学中还有一种经常用到的逻辑方法，这就是分析与综合。它们同归纳、演绎、类比等方法不是相互平行完全独立的，而是互相渗透与交叉的。 一、分析法 　　分析法是抽象思维的基本方法之一。是人们用来揭示事物本质、了解各事物之间及事物各部分之间内在联系的重要的思维方法。 　　什么是分析法呢？从方法论的角度讲，就是把研究对象分解为它的各个组成部分、方面、因素、层次，然后分别加以研究，从而认识事物的基础或本质的一种思维方法。这是方法论中的分析法，也是数学思想方法中的分析法。 　　1．元过程分析法 　　元过程分析法从对事物部分的研究，直接去揭示整体规律的思维方法。例如从某种物理过程或几何形体中抽取任何一小部分进行研究，通过分析小单元的局部中的关系和变化规律，建立整个物理过程或几何形体的数量关系，然后综合之，计算出整体的量。我们以微积分中的微元法为例列表说明。 2．追溯型分析法 　　这种分析法，其思路是把所研究的对象看成是一个整体，并假设该事物是存在的(或成立的)，进一步分析其组成的各个部分成立的充分条件。当这些条件找到了(或成立时)，显然这些条件就是原事物(或原命题)成立的充分条件。这就是通常所说的“执果索因”的推理方法。 　　例1 若x、y、z为互不相等的正数，求证 　　 　3．构造型分析法 　　这种分析法，其思路是把所研究对象中的成立的部分和不明确的部分都看成是成立的，这样，整个事物也就随之被看做是成立(这就是构造)，然后进行探讨、推理，找出不明确部分成立的必要条件，即是整体事物成立的必要条件，也就是通常所说的原命题成立的必要条件。 例2 已知A、B为锐角三角形之二内角，求证tgA·tgB＞1。 　　证明 分析锐角△ABC，就我们所研究事物的整体，其边、角和由它所涉及的有关线段、比值均可看成是这个事物的各组成部分，其中，A、B、C为锐角，即该事物中成立的部分。 　　考虑到tgA·tgB，可作CD⊥AB，则应有 即 CD2＞AD·BD。我们希望能在CD所在直线上找一点E，使得ED2＝AD·BD，且有CD＞ED。 　　假设这个不明确的部分是成立的，则E点应在CD内。通过已有的知识和C是锐角，我们很快知道E点即是以AB为直径的半圆与CD的交点，且落在CD内，即原命题是成立的。 　4．前进型分析法 　　这种分析法，其思路是从整体事物中已经成立的某一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩及到其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的必要条件，也就是原命题成立的必要条件。 　例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这样的数列最多能包含多少项。 　解：从已经明确的部分出发，即 　　∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， 　　∴a8+a9+…+a11＞0。 　　顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 　　a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 　　但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。 　　用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因而a11+a12+a13＞0，但因为a11+a12+…+a17＜0，∴a14+…+a17＜0。 　　另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。 5．混合型分析法 　　这种分析法，其思路是从命题的充分条件出发，用前进型分析法进行到中途，又从命题的必要条件出发，用追溯型分析法追溯到中途，直到两者追到同一中间结果，接近分析全过程。这种方法称混合型分析法，也称夹桥法。 例4 已知△ABC三内角A、B、C成等差数列，求证三边满足 思路分析可用以下线索：　　　　 思路接近，整理一下即得完整的证明。 由A、B、C成等差数列→B=60° →b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac。 综上所述，分析法这种抽象的思维方法，其思路可用图示的办法使其进一步明晰起来。 二、综合法 　　综合法也是人们用来认识事物本质的抽象思维的基本方法之一。 　　从方法论的角度讲，综合法是把研究对象各个部分、方面、因素、层次联系起来加以研究，从而在整体上把握事物的本质与规律的一种思维方法。具体些讲，就是从事物各部分、