数学物理方程反问题讲稿概要.ppt

* * * * 体积 就是一个依赖于时间的参数。反问题也可以这样提出，流速或流入液体的浓度是依赖于时间的。练习：含有未知（常数）浓度的污染物质的地下水以一个未知（常数）速度渗入到一个容积为1000加仑的蓄水池中，这一被充分搅和的溶液以同样的速度向外渗漏，测量结果表明蓄水池中污染物质的初始浓度为 ，一天以后污染物浓度为 ，两天后为 ，求地下水中污染物质的浓度是多少？地下水渗入蓄水池的速度是多少？ * * * * 例5 利用万有引力寻宝 考虑质量为 的质点，位于单位深度的平静的河底，假 定任何其他的重力源都是完全均匀的，从而由质点源产生的 重力异常是唯一的重力影响源。确定河底的金块对河面单位 质量质点的引力是一个正问题，牛顿万有引力定律认为该作 用力等于两质点质量乘积的万有引力常数倍，再除以两质点 距离的平方。我们考虑基于河底测得数据来确定质点质量和 位置的反问题，测得的数据包括河面基准点到测量点的距离 以及河底的金块产生的对河面 处单位质量质点的引力的垂 直分量的估计值 （例如利用灵敏弹簧秤测得）， * * * * 金块与测量仪器上单位质点的距离的平方为 ，（由 毕达哥拉斯定理得出），且质量的乘积为 。金块对河面 处单位质量质点的引力的垂直分量为 ，由牛顿万有 引力定律可表示为 因为河水的深度为1，可见 此关系式代入前式可得 * * 上面的正问题是确定河底金块对河面 处单位质量质点的引 力的垂直分量，由上述方程可见正问题有唯一解。下面考虑 通过在河底 处 的观测值来确定金块的质量和位置的反问 题。首先将上述方程改写使得问题变得简单一些，定义两个 新的变量 分别称为有效质量和有效垂直引力。 显然 的测量值唯一确定了 ，知道了 就确定了 于是有 ，现在反问题变成了如何确定 以及 金块位置。已知数据是 以及金块对 处单位质量质点的有 效垂直引力 ，称数对 为一个观测，因此反问题相当于 * * * * 由观测确定源 ，如果源能唯一测定，那么不用下水就 可以知道金块的位置和质量。 下面我们希望识别非齐次质量密度 ，这种质 量分布使得河面的单位质点受到的引力在垂直分量变得不 均匀。 处长度为 的质点在 处产生的重力垂直分量 其中 是 的质量密度，由求和极限运算可得 这里取 ，由质量密度确定不均匀重力是正问题，另一 * * * * 方面，由测量得到的不均匀重力确定无法直接测量到的质量 密度是经典的反问题。 上述模型需要注意的问题是 通常比 光滑，甚至对于 非常粗糙的函数 ，函数 却是无限可微的，因为它从核函 数 继承了光滑性。通过积分过滤函数 ，是希望 的一些细节可以从该过程中变平滑，最主要的是 包含 了比 更少的信息，因此通过 通过重构 的反问题将会更 困难。 对于研究近似离散问题所遇到的困难，可以给出具体的 解决方法。一种方法是使用近似积分准则，如使用中点公式 其中 ， 应用这一法则得到 * * * * 如果对每个 都套用上述公式即得到向量 和 ，其分量分别为函数 和 在离散过程中子区间中点的近 似值，则它们之间的关系矩阵为 ，矩阵 的元素为  数学物理方程反问题 麦宏晏 * * * * 什么是反问题 应用背景 具体实例 * * 什么是反问题 耳朵能“听出”鼓的形状吗？ 仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹 麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的 背景来自于射线理论。 一个物体的音色可以由一串谱 来确定，它们在 物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知