数学物理方法第七章2012概要.ppt

确定待定函数的形式 无限长，即无边界条件 设初始条件为 和 (2)达朗贝尔公式 * 设初速度为零 由达朗贝尔公式 * x1 x2 t=0 t1 t2 t3 t4 设初位移为零 假使初始速度在区间[x1,x2]上是常数?0 其中 解： * * t=0 t1 t2 t3 （二）端点的反射 一个端点固定 设初始条件为 和 边界条件 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x?0 tx/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围 ，作奇延拓： 半无限长弦的自由振动 * * 半波损失 只有初始位移，没有初始速度 开始反射 * 一个端点自由 设初始条件为 和 边界条件 应该是偶延拓 * 无半波损失 只有初始位移，没有初始速度 开始反射 * 从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。 达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加 * 习题 7.4.1 解： 习题 7.4.6 设初始条件为 和 边界条件 * 作业：P141，1, 4, 8 定解问题 * 端点自由时的解 分解 解：通解为 定解条件 求： * 求 * 求解两端固定弦的自由振动 泛定方程的通解 边界条件 周期函数，同理 改写为 是x的奇函数，周期为2l * 第二篇 数学物理方程 * Mathematical Equations for Physics 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 —— 牛顿 重点 1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、一维波动方程的行波解。 第七章 数学物理方程的定解问题 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程(涉及到多个变量)，有时也包括与此有关的积分方程。 * 一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示 物理规律 物理量u 在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。 物理规律的直接表现：u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的关系式——偏微分方程 数学语言翻译 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。 * 二、边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 三、历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 * 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。 泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。 具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须用的 7.1 数学物理方程的导出 * 3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等 导出步骤： 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 波动方程的导出 （一）均匀弦的微小横振动 弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律 * 选取不包括端点的一小段(x, x+dx) (1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小 ? 张力与水平方向的夹角?1和?2 很小，仅考虑?1和?2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。 研究对象： 简化假设： u(x) u+?u u 0 ?1 ?2 T2 T1 x x+?x 弦的原长 现长 * 沿x-方向，不出现平移 弦长dx ，质量密度?，B段的质量为m= ?dx 沿垂直于x-轴方向 受力分析和运动方程 u(x) u+?u u 0 ?1 ?2 T2 T1 x x+?x B * 在微小振动近似下： 弦中各点的张力相等 波动方程 波速a 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到横向作用力时，弦运动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 ，力密度为 受迫振动方程 * 单位质量所受外力，力密度 （二）均匀杆的纵振动 设：