数学欣赏_07数学之奇_a实数系统概要.pptx

Mathematics Appreciation 数学欣赏G 数学之奇 The Surprise of Mathematics 数学之奇 鬼斧神工 奇异，指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人既惊奇，又赞赏与折服. 数学中的奇异性源于人类感知能力的局限，其根源在于对无穷的认识：人类只能感知有限和局部的事物，无法感知、认识和对比无穷、超微观、超宏观的现象. 奇异不仅体现在数量对比上，也体现在空间认识中。 徐利治说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美. ” 本章内容 希尔伯特说…… In This Section 一家人 数系扩 充概述 连续统 假设 德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。 一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。…… Hilbert 的旅馆 数系扩充概述 1 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。 1. 实数系扩充历史 分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。 1. 实数系扩充历史 无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。 毕达哥拉斯(约公元前560——480年） 1. 实数系扩充历史 “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。 1. 实数系扩充历史 负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。 刘徽（公元250年前后） 1. 实数系扩充历史 正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统。 实数系统是一个没有缝隙的连续系统， 任何一条线段的长度都是 一个实数。 复数是“算”出来的。 复数最初出现于解二次方程， 1484年，法国数学家舒开（Chuquet, 1445--1500）在其《算数三篇》中，解方程式 4＋x2＝3x，得根 x＝3/2±√(9/4-4)， 他声明这个根是不可能的。 2. 复数系的产生与发展 意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。 卡达诺(Cardano,1501--1576) 2. 复数系的产生与发展 1545年，卡达诺在《大衍术》中写到：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了。” 2. 复数系的产生与发展 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）。 笛卡尔(R.Descartes,1596--1661) 2. 复数系的产生与发展 1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示√(-1)，称为虚数单位。 欧拉(L.Euler,1707~1783) 2. 复数系的产生与发展 在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式 eix ＝ cosx + i sinx 发现了复数与三角函数的关系。 2. 复数系的产生与发展 1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表 a+bi 。 高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855) 2. 复数系的产生与发展 (a,b) ~ a+bi a b 2. 复数系的产生与发展 18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示，复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确； 19世纪上半叶，复变函数理论建立并得到广泛应用。 2. 复数系的产生与发展 1873年，我国数学家华衡芳(1833~1902)将意大利数学家邦贝利（Bangbeili 1530~1590） 《代数术》翻译为中文，将 “虚数”引入中国。 2. 复数系的产生与发展 复数系 是保持四则运算基本性质的 最大数系 3. 超复数的产生 1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。 哈密尔顿 （Hamilton, William Rowan, 1805—1865） 3. 超复数的产生 1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。 凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895) 自然数N 整数Z 有理数Q 实数R 复数（二元）C 四元数（乘法不可交换） 八元数（超复数） （乘法不可交换，也不能结合）