离散数学I2-代数-2015.ppt

* 例 (1)考虑整数环Z,+,·，对于任意给定的自然数n，nZ＝{nz|z∈Z}是Z的非空子集，则nZ是整数环的子环。 (2)考虑模6整数环Z6,?,?，{0},{0,3}, {0,2,4},Z6是它的子环。 其中{0}和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。 * 整环与域 定义 设R,+,·是环，(P288 定义18.4) (1)若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环。 (2)若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环。 (3)若?a,b∈R，ab＝0 ? a＝0∨b＝0，则称R是无零因子环。 (P287 定义18.3) (4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环。 * 实例 (1)整数环Z，有理数环Q，实数环R，复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。 (2)令2Z＝{2z|z∈Z}，则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为1?2Z。 (3)设n是大于或等于2的正整数，则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。 * 实例 (4)Z6关于模6加法和乘法构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。 2?3＝0，但2和3都不是0。称2为Z6中的左零因子，3为右零因子。类似地,又有3?2＝0,所以3也是左零因子，2也是右零因子，它们都是零因子。 (P287 定义18.2) * 环是无零因子环的充分必要条件 定理 设R是环，R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律，即?a,b,c∈R，a≠0，有 ab＝ac ? b＝c? 和ba＝ca ? b＝c (P287 定理18.2) * 域的定义与实例 定义 设R是整环，且R中至少含有两个元素。若?a∈R*＝R-{0}，都有a－1∈R，则称R是域。 (P288 定义18.5) 例如：有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。 例 设p为素数，证明Zp是域。 * * 在讲到分配律时，应该指明哪个运算对哪个运算可分配，不要笼统地讲它们适合分配律。 * * 请同学们考虑，在运算表中，满足交换律、幂等律，具有零元、么元的表各具有什么特点。 交换律的表沿主对角线对称。 幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。 有零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与该元素相同。 有么元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。 A与b互逆，当且仅当以这两个元素为行和列的焦点出为么元。 请同学们考虑，虽然没有么元、零元或者逆元，但是否有左、右么元（零元、逆元）的存在？ * * * 充分性的证明：结合性保持，由(1)知封闭性，由(2)知有逆元。 * * * * * 根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。 * 定理 定理 设H是群G的子群，则?a,b∈G 有 a∈Hb? Ha＝Hb ? ab-1∈H (P263 定理17.22) * 定理 定理 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：?a,b∈G， a,b∈R ? ab-1∈H 则R是G上的等价关系，且[a]R＝Ha。 (P264 定理17.23) * 推论 推论 设H是群G的子群，则 (1)任取a,b∈G，Ha＝Hb 或 Ha∩Hb＝? (2)∪{Ha|a∈G}＝G (P264 定理17.24) 重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的集合{Ha|a∈G}恰好构成G的一个划分。 * 左陪集 P264 例17.26 H的右陪集定义，即 Ha＝{ha|h∈H}，a∈G 右陪集的性质： 1.He＝H 2.?a∈G，a∈Ha 3.?a,b∈G，a∈Hb?ab-1∈H?Ha＝Hb 4.若在G上定义二元关系R， ?a,b∈G,a,b∈R?ab-1∈H 则R是G上的等价关系， 且[a]R＝Ha。 5.?a∈G，H≈Ha。 H的左陪集定义，即 aH＝{ah|h∈H}，a∈G 左陪集的性质： 1.eH＝H 2.?a∈G，a∈aH 3.?a,b∈G，a∈bH ?b-1a∈H ?aH＝bH 4.若在G上定义二元关系R， ?a,b∈G,a,b∈R?b-1a∈H 则R是G上的等价关系， 且[a]R＝aH。 5.?a∈G，H≈aH。 * 关于陪集的进一步说明 右陪集和左陪集之间一一对应。不区分H的右陪集数和左陪集数，统称为H在G中的陪集数，也叫做H在G中的指数，记作[G:H]。 (P265 定义17.17) 拉格朗日定理: 定理 设G是有限群，H是G的子群，则 |G|＝[G:H]·|H| (定理17.26) 推论 设G是n阶群，则?a∈G，|a|是n的因子，且有an