离散数学第5章-群.ppt

2．下列的代数系统G; *中，哪些构成群？在G;*是 群的情况下，指出其单位元并确定每个元素的逆元。 （1） G={1,3,4,5,9}，* 是按模11的乘法； （2） G=Q，* 是通常的加法； （3） G=Q，* 是通常的乘法； （4） G=I，* 是通常的减法； 解 （1） G;*是群，其中1是单位元，3与4互为逆元， 5与9互为逆元，1以自身为逆元。 Q;*是群，其中0是单位元，任一有理数q的 逆元是 -q 。 (3) Q;*不是群，因为0没有逆元。 (4) I;*不是群，因为*不可结合。 3． 试证明在一个有限群里，周期大于2的元素 个数一定是偶数个。 证明 设G;*是一有限群，若元素a的周期大于2，则 而且a-1也是周期大于2的元素, 因而a≠a-1，即a不以自己为逆元， 因此周期大于2的元素必成对出现，故个数必为偶数。 又由逆元的唯一性， a2≠e, 2．循环群 定义5-9 在群G；* 中，如果存在一元素g ∈G，使得每一元素 a ∈G 都能表示成 g i ( i ∈I)的形式，则称群 G ；* 为循环群，称 g 为该循环群的生成元，并称群 G；* 由 g 生成。 按照群中逆元的表示方法 例3 群I；+是循环群，1是生成元，10=0，对任意正整数n，n=1+1+…+1，按照群中元素的幂的表示方法n=1n. 对任意负整数-n, 又30=0，31=3，32=3 43=res4(6)=2, 33=32 43=2 43=res4(5)=1 例4 例2中的群Z4； 4是循环群， 因为10=0，11=1，12=1 41=res4(2)=2, 13=12 41=2 41=res4(3)=3, 所以1是其生成元。 所以3也是其生成元。 例5 设G= {a,b,c,e} ，* 是G上的二元运算， * e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e e a b c a*a=b * b=c * c=e * e=e , a * b=b * a=c, b * c=c * b=a， a * c=c * a=b G；* 是一阿贝尔群，但它不是循环群，一般称这个群为Klein四元群。 注意：定理5-1 每一个循环独异点都是可交换的。 因此每一循环群必是阿贝尔群。 三、群的阶和元素的周期 定义5-10 设G；*是一个群，如果G是有限集，则称G；*是有限群，G中元素的个数称为群G；*的阶；若G是无限集，则称G；*是无限群。 定义5-11 设G;*是一个群，a ∈ G，若存在正整数 r ，使得 ar =e，则称元素 a 具有有限周期。使ar=e成立的最小的正整数 r 称为 a 的周期。如果对于任何正整数r，均有 ar ≠ e，则称 a 的周期为无限。 例6 在群 中，单位元1的周期为1。 （-1）2=（-1）4=（-1）6= … =1， 34 = 33 43 = 1 43 = res4(4) = 0 , 21 = 2 ，22=2 42 = res4(4)= 0, 例7 在例2所给出的群Z4 ； 4中， 14 = 13 41=3 41 = res4(4)=0 , 定理5-5 设G； 是一由元素 g 生成的循环群，则 （1）若 g 的周期为 n ，则G； 是一个阶为 n 的有限循环群； （2）若 g 的周期为无限，则G; 是一个无限阶的循环群。 例如 循环群I；+的生成元1和–1，其周期均为无限，群I；+是一个无限阶的循环群。 1和3的周期均为4，循环群Z4； 4 的阶也为4。 循环群Z4； 4的生成元是1和3。 14=13 41=3 41=res4(4)=0 34=33 43=1 43=res4(4)=0 注意： (1) 除了单位元，群没有其它幂等元； (2) 阶大于1的群没有零元。 练习5-2 1．设有集合A= 是函数的复合运算，判断下述各论断是否正确，在相应的括号中键入“Y”或“N” （1）令FA