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第二篇 集合论 集合论初步 二元关系 函数 第三章 集合论初步 本章主要介绍如下内容： 集合的基本概念及表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算 ＊包含排斥原理 3-1 集合的基本概念 1.集合与元素 集合：是由确定对象(客体)构成的合体。 这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的。 集合一般用大写的英文字母表示。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成?(1.5∈N), 或写成 1.5?N。 2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合只给出朴素的定义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素个数是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素个数是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用命题或谓词公式描述元素的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则a?A。 4.几点说明 ⑴集合中的元素必须是不同的，可以区分的，而它们之间的次序是无关紧要的。例如A={a,b,c}，B={c,b,a}，则A与B是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1， B}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N，整数集合I，实数集合R，有理数集合Q ⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义不同： a： 张书记 {a}: 党支部(只有一个书记) {{a}}： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) 3-2 集合间的关系 包含 ? 相等 = 真包含? 一.被包含关系(子集) ? 1.定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作A?B。 文氏图表示如右下图。 例如，N是自然数集合， R是实数集合，则N?R 谓词定义： A?B??x(x∈A?x∈B) 2. 性质： ⑴有自反性，对任何集合A，均有 A?A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，若有A?B 且 B?C ，则有 A?C。 ⑶有反对称性，对任何集合A、B，若有A?B且 B?A ，则有 A=B。 二. 相等关系 1. 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等。记作A=B。 定理：A=B，当且仅当A?B 且 B?A。 证明：充分性，已知A?B且 B?A，假设A≠B，则至少有一个元素a,使得a∈A而a?B；或者a∈B而a?A。如果a∈A而 a?B，则与A?B矛盾。如果a∈B而a?A，则与 B?A矛盾。所以A=B。 必要性显然成立，因为如果A=B，则必有A?B且 B?A。 谓词定义： A=B?A?B?B?A ??x(x∈A?x∈B)??x(x∈B?x∈A) ??x((x∈A?x∈B)?(x∈B?x∈A)) ??x(x∈A?x∈B) 2. 性质 ⑴有自反性，对任何集合A，均有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果A=B，则B=A。 三. 真被包含关系(真子集) ? 1. 定义：A、B是集合，如果A?B且A≠B，则称B真包含A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作A?B。 谓词定义：A?B?A? B?A≠B ??x(x∈A?x∈B)???x(x∈A?x∈B) ??x(x∈A?x∈B)? (??x(x∈A?x∈B)???x(x∈B?x∈A)) ?(?x(x∈A?x∈B)? ??x(x∈B?x∈A)) ? (?x(x∈A?x∈B)? ?x?(?x∈B?x∈A) ? ?x(x∈A?x∈B) ? ?x(x∈B?x?A) 2. 性质 有传递性，对任何集