第4.3节-协方差与相关系数——概率论与数理统计李长青版.pptVIP

第三节 协方差及相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 去反映这种联系. 相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数 为 X ,Y 的协方差. 称 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵为半正定矩阵 协方差的定义 定义 称 记为 协方差的性质 当DX 0, DY 0 时，当且仅当 时, 等式成立. — Cauchy-Schwarz不等式 协方差的数值虽然在一定程度上反映了X和Y相互间的联系, 但其值还受X和Y本身取值大小的影响, 比如X和Y同时增大到k倍, 即X1= kX, Y1= kY, 这时X1和Y1间的相互联系与X和Y间的相互联系是相同的, 然而协方差却增大到了k2倍, 即 为了克服协方差的这一缺点, 将随机变量标准化,取 则 若D X 0, DY 0 ,称 为X ,Y 的相关系数 若 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量 相关系数的定义 由此知, 相关系数确实克服了协方差的不足. 相关系数就是标准化随机变量间的协方差, 并且有 相关系数的意义和性质 即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为 程度的量． 相关系数是表征随机变量X与Y之间线性关系紧密 X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系. 时，X 与 Y 之间以概率1存在线性关系； 当 越接近于0时, X 与 Y 之间的线性关系越弱; 时，X 与 Y 之间不存在线性关系(不相关). 当 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 例1 设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y －1 0 1 －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试验证和X是Y不相关, 但X和Y不是相互独立的. 证 先求出X和Y的边缘分布律如下： X －1 0 1 3/8 2/8 3/8 －1 0 1 3/8 2/8 3/8 可得 因此 故X, Y是不相关的. 又 故X, Y不独立. 求 和 解 . . 例2 设随机变量(X,Y)的概率密度函数 由期望的计算公式可得 由x,y 在f (x,y)的表达式中的对称性, 可知 例3 设? ~U(0,2?) , X=cos ? , Y=cos( ? +? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解