CAD曲线-东京大学.ppt

* 曲率の計算方法 角度の基準線 接線 これらを使って計算すると ※ 2階微分が 出てくる * 縮閉線 ベストフィットする円の中心の軌跡 曲率半径の量だけ法線方向に移動する オフセット曲線群が「折れる」点を通過する オフセット曲線群が 折れる点 * 折れ線データでの曲率半径の近似 3点を通る円の半径を求める 正弦定理を思い出す 点Oでの曲率半径を三角形 OAB の辺の長さと面積を用いて表してみよう * 課題 4 prog4-2 を使う 曲率半径を計算する関数  “computeCurvatureRadius” を完成させよ 曲率半径の値は配列 R[N] 縮閉線を描く関数　 “drawEvolute” を完成させよ 変曲点で縮閉線が途切れることに注意せよ 曲率半径を前後の点を通る円の半径として近似した場合の精度を縮閉線を描き、確認せよ * 話の流れ パラメトリック曲線とは？ ベジエ曲線 接線と法線 曲率 Bスプライン曲線 空間曲線 * ベジエ曲線の問題点 制御点が増えると次数も増える 1点の移動が全体に影響する 30次式! この辺も少し動く * Bスプライン (ベジエスプラインとは別物) 2次の B-スプラインの例 曲線が制御点間の線分に接する 形式は(基底関数×制御点位置) の和 * B-スプライン基底関数 * B-スプライン基底関数の作り方 以下の畳込み積分で再帰的に定義される s 1/2 -1/2 ここの面積が t 左右が反転 1 -t * 話の流れ パラメトリック曲線とは？ ベジエ曲線 接線と法線 曲率 Bスプライン曲線 空間曲線 * パラメトリック形式の空間曲線 z 座標を増やすだけ 螺旋曲線 : * 従法線とねじれ率 (空間曲線) 道路を空間曲線とみて車で走ることを考える 接線 t : 進行方向は接線 法線 n : カーブの方向(直線では定義できない) 従法線 b : 自分に対する上向き方向 曲率 k : 道路の曲がり具合 ねじれ率 τ: 頭の振れ具合 ※ 横G は無視 t b n * フレネ?セレの公式 (空間曲線) t b n t b n k τ 2つのフレームの原点を一致させる * CAD曲線(ベジエ曲線?Bスプライン曲線) CGと形状モデリング授業資料長井　超慧（東京大学） 資料および授業の情報は　: http://www.den.t.u-tokyo.ac.jp/nagai/CG/ * 今回の授業の目的 CGやCADにおいて 昔から良く使われている曲線について学ぶ パラメトリック曲線のオフセットや曲率を学ぶ * 話の流れ パラメトリック曲線とは？ ベジエ曲線 接線と法線 曲率 Bスプライン曲線 空間曲線 課題はなし * 数式による平面曲線の表現方法 陽(グラフ)形式 : 扱い易いが自由度がない パラメトリック形式 : 扱い易く、自由度も高い 空間曲線への拡張も容易 陰形式 : 等値線とも呼ばれる タマネギ状の曲線群 * パラメトリック曲線 各座標ごとに陽(グラフ)形式の関数 * パラメトリック曲線のレンダリング 折れ線を用いる 0.5 秒刻みで打った点 * * 課題 1 prog4-1 を使う 以下のパラメトリック曲線上の点列の座標を計算する関数 “generatePoints” を完成させよ 点列の数は N とする (#define N 21 としてある) x 座標は配列 float px[N] へ代入 y 座標は配列 float py[N] へ代入 １で作成した座標を折れ線として　描くための関数 “drawCurve” を完成させよ 時間があれば前ページのように点を打ってみよ * 話の流れ パラメトリック曲線とは？ ベジエ曲線 接線と法線 曲率 Bスプライン曲線 空間曲線 課題はなし * CADでよく使われる曲線 ベジエ (Bezier) 曲線 Bスプライン曲線 ベジエ曲線 Bスプライン閉曲線 * * 実用例 アウトラインフォント どこまでズームしても滑らか アウトラインフォント (ベクタ画像) ドットフォント (ラスタ画像) and * ベジエが取り組んだ問題 (車体のデザインのため) 平面(空間)上に与えられた点列をもとに、曲線を描く 点列の移動を反映して、曲線も移動するようにする デザインの変更 「制御点」を移動 * ベジエのアイディア 滑らかな関数を足して全体を表現しよう！ あるデータ 掛ける 足す！ * ベルンシュタイン基底関数 「繰り返し試行」の確率の式 確率 t の試