§36正弦余弦函数之叠合.PDFVIP

§3−6 正弦餘弦函數之疊合 (甲)正餘弦的疊合 我們考慮正 餘弦函數 圖形 ，如 圖中虛線的圖 ，圖形像波動的形狀 ，有高有低， 起伏很規則。高的地方就是波峰，低的地方就 是波谷。如果兩個波動同時 進 行，疊合在一起後，會變成什麼樣子呢？ 8 6 4 2 h x = sin x +cos x () () () g x = cos x f x = sin x () () ( ) ( ) -10 - 5 5 10 -2 -4 -6 -8 從上圖可以看出，y =sinx +cosx 的圖形基本上與y =sinx (或y =cosx )的圖形類似， 只 是 振 幅 與 位 置 有 些 改 變 或 移 動 。 進 一 步 觀 察 ， 當 sinx =cosx 時 ， 此 時 y =sinx +cosx 的圖形出現波峰與波谷 ，且y =sinx +cosx 的圖形向右移動若干單位 。 我們猜測y =sinx +cosx 可表為y =rsin(x +θ) ，要如何決定r與 θ 呢？ y =rsin(x +θ)=r(sinx ⋅cosθ+cosx ⋅sinθ)=sinx +cosx ⇒r ⋅cosθ=1 且 r ⋅sinθ =1 2 ⇒r =2 ⇒r= 2 1 1 π ⇒cosθ= 2 且 sinθ = 2 ⇒可取 θ=4 π ⇒y =sinx +cosx = 2 sin(x +4) (1)疊合的方法： 考慮y =f (x )=a ⋅sinx +b ⋅cosx ，a,b為實數，根據前面例子的推測，我們也按照前 面例子的做法，將y =f (x )=a ⋅sinx +b ⋅cosx 化成y =f (x )=rsin(x +θ) y =rsin(x +θ)=r