修改后结构最大结点位移.ppt

Solve while Solve if else end Solve end 当 时, 上式可以化简为: 我们将使用完全Cholesky分解求解方程所需的浮点操作次数和本文提出算法所需的浮点操作次数的比值定义该算法的加速比： 运算次数约为: 记 分别为结构修改前后的半带宽，显然有 在假设 下，上述算法经 。 次迭代后的总浮点 而如果应用完全的Cholesky分解求解方程(3.1)需要的浮点运算次数约 (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) 例1：梁结构的平面应力有限元计算模型 所做的修改分别增加了 18 个结点 35 个单元与 51 个结点 99 个单元。 3.31113 3.6440e+005 2.2263 3.7031e+005 Modified design B Modified design A -3.2735 -3.2733 -3.2706 -3.1523 -3.3203 -3.3203 -3.3196 -3.2875 Exact PCG3 PCG2 PCG1 Exact PCG3 PCG2 PCG1 Modified design B Modified design A 修改结构最大垂直位移（ ）的重分析逼近解与精确解 预优前后刚度矩阵的条件数 直接PCG方法： 我们直接构造如下形式的预条件矩阵 (3.10) 容易证明 是对称正定的，因此存在Cholesky分解 (3.11) 直接以 为预条件矩阵应用预条件共轭梯度法求解(3.1)的具体 算法为： while Solve Solve Solve if else end end 步需要的浮点操作次数约为： 应用上述算法迭代 (3.12) 同样定义加速比为： (3.13) 由上式可以看出当 ,且半带宽很大满足 有： (3.14) 例 2 梁结构有限元计算模型 初始设计的梁结构 为了提高计算精度我们在梁的左端附近区域加密有限元网格，增 修改后的梁结构 加了 76 个结点和 144 个单元。 预优前结构刚度矩阵 的条件数 ＝ 预优后结构刚度矩阵 的条件数 ＝1.7437，预优后条件 数降低了99.999%，可见条件数得到了很大的改善。 -3.3818 -3.3818 -3.3806 2 1 Iteration Exact solution The present PCG approach 修改后结构最大结点位移( )的重分析逼近解和精确解 在这个例子中初始结构的半带宽 当 时，加速比 ，可见此算法有很高的加速性能。 1.0027e9 1.0057e7 1.7437e4 non-positive- definite non-positive- definite non-positive- definite Condition number 1.0e-8 1.0e-6 1.0e-4 1.0e-2 1.0e-1 1.0 标量乘子的选择与预条件后矩阵的条件数 例 4 水坝在静水压下的有限元计算模型，为了加固水坝增加 了300个单元和153个结点。 初始水坝结构 修改后水坝结构 预优前结构刚度矩阵 的条件数 ＝ 预优后结构刚度矩阵 的条件数 ＝3.3425 3.7865 3.7847 3.7778 4.1206 3 2 1 Iteration Exact solution The present PCG approach 修改后结构结点51水平位移( )的重分析逼近解和精确解 可以看出仅仅通过3步迭代误差就可以降至-0.048%。在本例中原结 构的半带宽 ，当 时，误差就可以降至-0.048%。而此时 加速比： ，可以看出加速比很大。 1.0e8 1.0e6 1.0e4 non-positive definite non-positive- definite non-positive- definite Condition number 1.0e-8 1.0e-6 1.0e-4 1.0e-2 1.0e-1 1.0 标量乘子的选择与预条件后矩阵的条件数 * * * * * * * * 吉林大学博士学位答辩会 主席：袁益让 教授 山东大学 委员：吴 微 教授 大连理工大学 李荣华 教授 吉林大学 冯果忱 教授 吉林大学 黄明游 教授 吉林大学 马富明 教授