2621用函数观点看一元二次方程.doc

26.2用函数的观点看一元二次方程 教学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。 2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x轴的交点个数。 3、培养合作意识和探索数学知识间联系的好习惯，体验二次函数的应用。 教学重点和难点 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 导学方法:先由学生自学课本，经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。 教学过程设计： 　　（一）问题的提出与解决 　　问题? 如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t?5t2． 　　考虑以下问题 　　（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？ 　　（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？ 　　（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ 　　（4）球从飞出到落地要用多少时间？ 　　分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t?5t2． 　　所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值． 　　解：（1）解方程 15＝20t?5t2．? 　　t2?4t+3=0．? 　　t1＝1，t2＝3． 　　当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m． 　　（2）解方程 20＝20t?5t2．? 　　t2?4t+4＝0．? 　　t1＝t2＝2． 　　当球飞行2s时，它的高度为 20m． 　　（3）解方程 20.5＝20t?5t2．? 　　t2?4t+4.1＝0． 　　因为(－4)2－4×4.10．所以方程无解． 　　球的飞行高度达不到 20.5m． 　　（4）解方程? 0＝20t?5t2．? 　　t2?4t＝0．? 　　t1＝0，t2＝4． 　　当球飞行0s和4s时，它的高度为 0m，即0s时球从地面飞出．4s时球落回地面． 　　画出二次函数h=20t?5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案． 　　从上面可以看出．二次函数与一元二次方程关系密切． 　　由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？ 例如：已知二次函数y＝?x2+4x的值为3，求自变量x的值．可以解一元二次方程?x2+4x＝3(即x2?4x+3＝0)．反过来，解方程x2?4x+3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2?4x+3的值为0，求自变量x的值． 【总结】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数,当函数值为某一确定值时,对应自变量的值就是方程的根.②特别是时，对应自变量x的值就是方程的根。以上关系，反过来也成立。 一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c＝0． 　（二）问题的讨论 　　二次函数(1)y＝x2+x?2；(2) y＝x2?6x+9；(3) y＝x2?x+1的图象如下图所示． 　　（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ 　　（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 　　先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题． 归纳（1）抛物线y＝x2+x?2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是?2，1；当x取公点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程x2+x?2 = 0的根是?2，1． 　　（2）抛物线y＝x2?6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程x2?6x+9=0有两个相等的实数根3． 　　（3）抛物线y＝x2?x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2?x+1 = 0没有实数根． 　　总结：一般地，如果二次函数y = ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 　　（三）归纳 　　一般地，从二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知， 　　（1）如果抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0的一个根． 　　（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 　　由上面的结论