1集合的概念与运算【讲义】.doc

第一章 集合 集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题. §1.1 集合的概念与运算 【基础知识】 一．集合的有关概念 1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素. 2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 3．集合的分类：无限集、有限集、空集. 4. 集合间的关系：.即且. 2.集合的运算性质 (1),(幂等律); (2), (交换律); (3), (结合律); (4),(分配律); (5),(吸收律); (6)(对合律); (7), (摩根律) (8),. 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件. 【典例精析】 【例1】在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得 【解】集合的所有子集的元素之和为 = 〖说明〗本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例2】且,求参数的取值范围. 〖分析〗首先确定集合A、B,再利用的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得 当时,,由知无解; 当时,,显然无解; 当时, ,由解得 综上知,参数的取值范围是. 〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例】,集合.若,则的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解】,,且及集合中元素的互异性知 ,即,此时应有 而,从而在集合B中, 由,得 由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式. 〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例】.若,求……+的值. 〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决. 【解】,,根据元素的互异性,由B知. 且,,故只有,从而 又由及,得 所以或,其中与元素的互异性矛盾! 所以代入得: ……+=()+2+()+2+……+()+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键. 【例】,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A. 【解】设集合A=且,由, ,得,即 或(事实上,当时,有. 当时,,而 当时,, 由,解得 综上可知, 〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解. 【例】,若,求实数的取值组成的集合A. 【解】,设. ①当,即时,,满足; ②当,即或时, 若,则,不满足,故舍去; 若时,则,满足. ③当时,满足等价于方程的根介于1和2之间. 即. 综合①②③得,即所求集合A. 〖说明〗先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论 【例】R}, R}. 若 , 则 的取值范围是 ． 【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为中心的正方形及其内部的点集(如图)． 考察 时, 的取值范围: 令 , 代入方程 , 得 ，解出得 ． 所以， 当 时, ． ………… ③ 令 ，代入方程 , 得 . 解出得 ．所以，当 时, ． ………… ④ 因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 ，即 时, ．故填 . 【例】,,其中, .若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B. 【解】,且,,又,所以 又,可得