2011全国数学联赛.doc

2011年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 2．函数的值域为 ． 3．设为正实数，，，则 ． 4．如果，，那么的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ． 7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ． 8．已知C，则数列中整数项的个数为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，，求的值． 10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N． （1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小． 11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方． （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若，求△的面积． 2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷） 一、（本题满分40分）如图，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点.若 证明： 二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式 具有如下性质： （1）均为正整数； （2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有 ． 三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为． 证明：． 四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值． 乌鲁木齐市第23中学 何召文 hzw0810120981@mail.bnu.edu.cn y x O P A B