二次函数动点题.doc

【9. 2012铜仁25．如图已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、BC（1，0）. （1）求抛物线的解析式; （2）点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题。 解答：解：1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形如图所示， 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1==4 , ∴P1 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）（3）如图设点E ，则 ①当P1时， S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵点E在x轴下方∴ 代入得： ∵△=(-4)2-4×7=-120 ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵点E在x轴下方∴ 代入得： ，∵△=(-4)2-4×5=-40 ∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E 【1.2012临沂 26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4， ∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，则22+|y|2=42， 解得y=±2， 当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2） ②若OB=PB，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2）， ③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2）， 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），