2014届高考数学：137正弦定理与余弦定理.doc

一、选择题 1．在ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形　　　　B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得 2··＝，整理得a2＝b2，a＝b， ABC一定是等腰三角形． 方法二：sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0， 即sin(A－B)＝0，又A－B(－π，π)， A－B＝0，即A＝B. ABC为等腰三角形． 答案：B 2．满足A＝45°，c＝，a＝2的ABC的个数记为m，则am的值为(　　) A．4　　　　　B．2　　　　　C．1　　　　D．不确定 解析：由正弦定理＝，得sinC＝＝＝. c＞a，C＞A＝45°，C＝60°或120°， 满足条件的三角形有2个，即m＝2.am＝4. 答案：A 3．在ABC中，若＝＝，则ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．顶角为120°的等腰三角形 D．以上均不正确 解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC， 又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C， 所以ABC为等边三角形，故答案为B. 答案：B 4．在ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°， AC＝3.由正弦定理得＝＝. 答案：D 5．已知ABC的三边长分别为a，b，c，且面积SABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于(　　) A．45° B．30° C．120° D．15° 解析：由SABC＝(b2＋c2－a2)＝bcsinA 得sinA＝＝cosA，A＝45°. 答案：A 6．若ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C. 答案：C 二、填空题 7．在ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________. 解析：a2－c2＋b2＝ab，cosC＝＝＝. 又0°＜C＜180°，C＝60°. 答案：60° 8．在ABC中，BC＝2，B＝，若ABC的面积为，则tanC为__________． 解析：由SABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB， AC＝，ABC为直角三角形，其中A为直角， tanC＝＝. 答案： 9．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝(a2＋b2－c2)，则C＝__________. 解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC. tanC＝1.C＝. 答案： 三、解答题 10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)． (1)求证：A＝2B； (2)若a＝b，判断ABC的形状． 解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc， 所以在ABC中，由余弦定理可得， cosB＝＝＝＝＝＝， 所以sinA＝sin2B，故A＝2B. (2)因为a＝b，所以＝， 由a2＝b(b＋c)可得c＝2b， cosB＝＝＝ 所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°. 所以ABC为直角三角形． 11．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝3. (1)求cosC； (2)若·＝，且a＋b＝9，求c. 解析：(1)tanC＝3，＝3， 又sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝±. tanC＞0，C是锐角．cosC＝. (2)·＝，abcosC＝，ab＝20. 又a＋b＝9，a2＋2ab＋b2＝81.a2＋b2＝41. c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.c＝6. 12．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin. (1)求sinC的值； (2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值． 解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC， sin＝2sin2. 由sin≠0，得2cos＋1＝2sin， sin－cos＝. 两边平方，得1－sinC＝，sinC＝. (2)由sin－cos＝＞0，得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－.